事件的起因是下图1，朋友偶然说到一阶低通滤波器，借此来详细介绍一阶低通滤波器的原理，并附上matlab仿真程序代码。图1中的一阶低通数字滤波器的公式为Eq(1)：
y(n) = q*x(n) + (1-q)*y(n-1) Eq(1)
其中，y(n)表示当前的输出，x(n)表示当前的输入，y(n-1)表示上一次的输出（图1中的符号不标准，因为一般时域用小写，频域或Z域用大写）。Eq(1)为差分方程，在分析离散系统时常用差分方程，而求解差分方程通常在z域实现，z变换使问题分析变得简单。这是一个IIR滤波器，那什么是FIR滤波器？什么是IIR滤波器呢？FIR滤波器是有限输入有限输出，换句话说当输入为0时输出也为0，系统无反馈；而IIR滤波器在输入为0时也可以有输出，由于增加了反馈回路，系统有不稳定发散的可能，因此IIR的分析要比FIR复杂一点。
图1
我们将公式Eq(1)进行z变换得到z域传递函数。见Eq(2)，注意其中z域的大写，我们要符合规范。根据Eq(2)，系统具有一个极点z=1-q和一个零点z=0，我们这里关心的是极点。当极点处于z域单位圆内时，系统是稳定的，否则系统为不稳定系统会发散。单位圆是个重要的概念，z域的单位圆等同于s域的虚轴向左卷绕成z域的单位圆(s域中极点处于虚轴左边系统稳定)。分析z域的幅频响应(IIR的相位非线性这里不表)是在单位圆上进行的，z=r*exp(jw)，单位圆上模值为1，所以z=exp(jw)(e的j*w次幂)，根据欧拉公式exp(jw) = cos(w)+j*sin(w)，我们得到Eq(3)。我们可以借助matlab来方便的求出H(w)的幅频响应，后面会给出代码，我们先来看结果见图2.
当q和采样时间的参数和图1保持一致时(q=0.0565 fs=3.333k即300us)，幅频响应见图2，在横坐标为30hz时的幅值为0.708约等于0.707(-3dB点)，我们简单分析一下图2，一阶低通滤波器的通带。。。。额。。图中看着比较窄，而且不平坦和理想一阶低通滤波器相比差距明显，但是对于高频干扰抑制效果明显，而且简单易实现，很多单片机应用中就会使用此滤波器。
图2
图5是仿真的时域结果，其中黑色线是理想信号，红色线是带躁信号，蓝色线是去噪后的信号，由于使用一阶低通滤波器后的信号波形和理想波形比较接近，所以图3中识别的不是很清晰。图4是结果局部示意图，这样可以清晰地看到理想信号、滤波前的带躁信号和滤波后的“干净”信号的时域波形情况。
图3
图4
代码：
%名称：数字一阶低通滤波器clc;
clear;
close all;t=0.0003; %采样周期为300us
fs = 1/t; %采样频率
w = -3.14:0.001:3.14; %横坐标分辨率，z域单位圆中w为+-pi
q=0.0565; %系数
f = (q*cos(w)+q*1i*sin(w))./(cos(w)-(1-q)+1i*sin(w));%传递函数
am=abs(f); %求幅值
w=w*(fs/2/pi); %z域w和采样频率之间的换算
plot(w,am); %答应幅频响应曲线
xlabel('Frequency(Hz)','fontsize',17);
ylabel('Amplitude','fontsize',17);%%%%%%%%信号处理
tt = 0:0.0003:25;
y_ideal = sin(0.5*tt); %理想信号
y_noise = awgn(y_ideal,35); %带噪信号
y_proce = y_noise; %去燥后的信号n=length(y_proce);
for i=2:ny_proce(i) = q *y_noise(i) + (1-q)*y_proce(i-1);
end
figure(2);
plot(tt,y_noise,'r');hold on;
plot(tt,y_ideal,'k','lineWidth',2); hold on;
plot(tt,y_proce,'b'); hold on;
xlabel('Time(s)');
ylabel('Amp(v)');
