一阶RC低通滤波

从模拟到数字
本文整理自网络、《匠人手记》等书籍文章

模拟电路低通滤波时域、频域
软件低通滤波

典型电路

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图1 典型RC电路
直流、交流、脉冲信号都可以用它

时域

电容电流：

I c = d q d t = d ( C ∙ U o ) d t = C d U o d t

$Ic = \dfrac{dq {}}{dt} = \dfrac{d(C•Uo) {}}{dt} = C\dfrac{dUo {}}{dt}$
基尔霍夫电压定律得：

U i = R C d U o d t + U o

$Ui=RC \dfrac{dUo {}}{dt}+Uo$
Ui的单位是伏特，RC的单位为秒，τ=RC；
解得:

U o (t) = U i (1 - e \land (- t / R C))

$Uo (t)= Ui(1-e ^∧ (-t/RC))$
假设电容初始电压值为0
R=1000Ω
C=4.7uF
Ui=1V
t=0.0001~0.1s
τ=RC
Vc(τ)=0.632
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图2 一阶RC系统的阶跃响应曲线

频域

u1=Ui；u2=Uo；
以电容电压作为输出，电路的网络函数为：

H (j ω) = U 2 U 1 = 1 j ω C R + 1 j ω C = 1 1 + j ω R C

$H(jω)= \dfrac{U2 {}}{U1}=\dfrac{\dfrac{1 {}}{jωC} {}}{R+ \dfrac{1 {}}{jωC}} = \dfrac{1 {}}{1+ jωRC}$
令ωc=

1 R C = 1 τ

$\dfrac{1 {}}{RC}=\dfrac{1 {}}{τ}$
ωc即为截止频率；

幅值和相角函数：

| H (j ω) | = 1 1 + ( ω ω c ) 2 - - - - - - - - \sqrt

$|H(jω)| = \dfrac{1}{ \sqrt{1 + ( \dfrac{ω {}}{ωc}) ^2}}$

θ (ω) = - a r c t a n ω ω c

$θ(ω)=-arctan \dfrac{ω {}}{ωc}$

各变量取值：
R=1000Ω
C=4.7uF

j = - 1 - - - \sqrt

$j = \sqrt{-1}$

ω = 1 R C

$ω = \dfrac{1}{RC}$

f c = 1 2 π R C

$fc = \dfrac{1}{2πRC}$

A (f) = 1 j 2 π f R C + 1

$A(f)=\dfrac{1 {}}{j2πfRC+1}$
|A(fc)|=0.707

θ (f) = 180 a r g ( A ( f ) ) π

$θ(f) = \dfrac{180arg(A(f))}{π}$
θ(fc)=-45

f=0.001、1、…….100000

幅频和相频特性图：
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图3

图4
幅频特性图的对数表示：

图5

-当ω<ωc时，幅值是平行于坐标的直线，基本无衰减；　

-当ω>>ωc时，是斜率与-20dB/十倍频成比例的一条直线；　

-当ω=ωc时，增益衰减至0.707，即-3dB，相位滞后45度，对应低通滤波器，该频率通常被称为截止频率。

缺点：
采用这种模拟滤波器抑制低频干扰时，要求滤波器有较大的时间常数和高精度的RC网络，增大时间常数要求增大R值，其漏电流也随之增大，从而降低了滤波效果；

软件上的一阶低通滤波

优点：

-采用数字滤波算法来实现动态的RC滤波，则能很好的克服模拟滤波器的缺点；
-在模拟常数要求较大的场合这种算法显得更为实用；
-其对于周期干扰有良好的抑制作用，
-比较节省RAM空间

缺点

-不足之处是带来了相位滞后，导致灵敏度低；
-同时它不能滤除频率高于采样频率的二分之一（称为奈奎斯特频率）的干扰（例如采样频率为100Hz，则它不能滤除50Hz以上的干扰信号）对于高于奈奎斯特频率的干扰信号，应该采用模拟滤波器。
-对没有乘、除法运算指令的单片机来说，程序运算工作量较大

基本滤波算法：

算法由来：
频率分析中一阶RC低通滤波在S域的传递函数：

V o u t V i n = 1 R C s + 1, (s = j ω)

$\dfrac{Vout}{Vin}= \dfrac{1}{RCs+1} ,(s=jω)$
通过z变换（方法很多，如一阶前向差分、双线性变换等这里用一阶后向差分法）

s = 1 - z \land ( - 1 ) T, T 表 示 采 样 周 期

$s= \dfrac{1-z^∧(-1)}{T} ,T表示采样周期$

带入S域传递函数中：

Y ( z ) X ( z ) = 1 R C 1 - z \land ( - 1 ) T + 1 = T R C ( 1 - z \land ( - 1 ) ) + T

$\dfrac{Y(z)}{X(z)}= \dfrac{1}{RC\dfrac{1-z^∧(-1)}{T}+1} = \dfrac{T}{RC(1-z^∧(-1))+T}$
推导转化为差分方程后可得：

Y (n) = T T + R C X (n) + R C T + R C Y (n - 1)

$Y(n)= \dfrac{T}{T+RC}X(n) + \dfrac{RC}{T+RC}Y(n-1)$
通过Z变换把S域的传递函数转化成时域的差分方程，分析可得到

一阶RC数字滤波的基本算法

X为输入，Y为滤波后得输出值，则：

Y (n) = a * X (n) + (1 - a) * Y (n - 1)

$Y(n)=a*X(n)+(1-a)*Y(n-1)$

a为与RC值有关的一个参数，称为滤波系数，其值决定新采样值在本次滤波结果中所占的权重，其值通常远小于1，当采样间隔t足够小的时候，

a = t R C

$a = \dfrac{t}{RC}$

-滤波系数越小，滤波结果越平稳，但是灵敏度越低；

-滤波系数越大，灵敏度越高，但是滤波结果越不稳定

-本次输出值主要取决于上次滤波输出值，当前采样值对本次输出贡献比较小，起到修正作用；

-截止频率：

f l = a 2 π t

$fl = \dfrac{a}{2πt}$
例如：t=0.5s (f=2Hz), a=1/32
则fl=(1/32)/(2*3.14*0.5)=0.01Hz;

基本程序：

按照一阶滤波的基本原理与公式写程序，如下：

/*程序中整数运算比小数运算快，为加快程序的处理速度，为计算方便，a取一整数，1-a用256-a来代替，a则取0~255,代表新采样值在滤波结果中的权重（也可将1-a的基数改为100-a，计算结果做相应处理，这里不做说明）*/#define a 128 char value; //上次滤波值
char filter()
{char new_value;new_value=get_ad();//本次采样值return(256-a)*value/256+a*new_value/256；
}

程序初步优化

减少乘、除的运算次数以提高运算速度。
具体优化办法：
先将新采样值与上次滤波结果进行比较，然后根据比较采用不同的公式计算，这样程序的运算效率提高了一倍；
化解基本公式可得:

当 X n < Y (n - 1) 时 ， Y n = Y (n - 1) - (Y (n - 1) - X n) \times a \div 256;

$当Xn<Y(n-1)时， Yn=Y(n-1)-(Y(n-1)-Xn)×a÷256 ;$

当 X n > Y (n - 1) 时 ， Y n = Y (n - 1) + (X n - Y (n - 1)) \times a \div 256;

$当Xn>Y(n-1)时，Yn=Y(n-1)+(Xn-Y(n-1)) × a ÷256 ;$

流程图：
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程序：

/*入口：NEW_DATA 新采样值OLD_DATA 上次滤波结果k        滤波系数(0~255)(代表在滤波结果中的权重)出口：         本次滤波结果*/char filter_1(char NEW_DATA,char OLD_DATA,char k)
{int result;if(NEW_DATA<OLD_DATA){result=OLD_DATA-NEW_DATA;result=result*k;result=result+128;//+128是为了四色五入result=result/256;result=OLD_DATA-result;}else if(NEW_DATA>OLD_DATA){result=NEW_DATA-OLD_DATA;result=result*k;result=result+128;//+128是为了四色五入result=result/256;result=OLD_DATA-result;}else result=OLD_DATA;return((char)result);
}

滤波分析：
当滤波系数为30的时候：
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当滤波系数为128的时候：

当滤波系数为200的时候：

可见滤波系数越小，滤波结果越平稳，但是灵敏度越低；滤波系数越大，灵敏度越高，但滤波结果也越不稳定；

不足

-灵敏度和平稳度间的矛盾

-小数舍弃带来的误差
比如：本次采样值=25，上次滤波结果=24，滤波系数=10；
根据算法得本次结果=24.0390625
在单片机中，很少采用浮点数，小数部分要么舍弃，要么进行四色五入。这样结果就变成24；假如采样值一直为25那么，结果永远是24；滤波结果和实际数据一直存在无法消除的误差。
严重时会导致，在数据采样数据稳定在某一数值上时，滤波结果曲线偏离实际值（即滤波结果在稳定时与实际结果存在较大误差）；

改善办法

改变滤波系数，增大会导致平稳度降低，滤波系数太大滤波也就丧失意义；
将小数位参与计算，会给CPU带来沉重运算压力；

优化方法 —– 动态调整滤波系数

1、实现功能：
-当数据快速变化时，滤波结果能及时跟进，并且数据的变化越快，灵敏度应该越高（灵敏度优先原则）
-当数据趋于稳定，并在一个范围内振荡时，滤波结果能趋于平稳（平稳度优先原则）
-当数据稳定后，滤波结果能逼近并最终等于采样数据（消除因计算中小数带来的误差）
2、调整前判断：
-数据变化方向是否为同一个方向（如当连续两次的采样值都比其上次滤波结果大时，视为变化方向一致，否则视为不一致）
-数据变化是否较快（主要是判断采样值和上一次滤波结果之间的差值）
3、调整原则：
-当两次数据变化不一致时，说明有抖动，将滤波系数清零，忽略本次新采样值
-当数据持续向一个方向变化时，逐渐提高滤波系数，提供本次采样值得权；
-当数据变化较快（差值>消抖计数加速反应阈值）时，要加速提高滤波系数

调整滤波系数的程序流程:

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几个常量参数及其取值范围：
（不同的取值会影响滤波的灵敏度和稳定度）
1、消抖计数加速反应阈值，取值根据数据情况确定
2、消抖计数最大值，一般取值10；
3、滤波系数增量，一般取值范围为10~30
4、滤波系数最大值，一般取值255；
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在调用一阶滤波程序前，先调用调整滤波系数程序，对系数进行即时调整

滤波效果

1、当采样数据偶然受到干扰，滤波结果中的干扰完全被滤除
2、当数据在一个范围内振荡时，滤波结果曲线非常平滑，几乎是一根直线
3、当采样数据发生真实的变化时，滤波结果也能比较及时地跟进
4、当采样数据趋于稳定时，滤波结果逐渐逼近并最终等于采样数据

-最终改进算法，兼顾了灵敏度和平稳度的要求；同时又不太消耗系统的RAM；
-只要合理调整几个常量，以使得算法更合适实际应用；

应用

下面是一个使用了动态调整滤波的例子：

程序：

//用MPU6050测得数据；对x轴滤波处理#define Threshold_1     8       //阈值1用于一阶带参滤波器，变化角度大于此值时，计数增加
#define Threshold_2     30      //阈值2用于一阶带参滤波器，计数值大于此值时，增大参数，增强滤波跟随float K_x=0; //滤波系数
u8 new_flag_x=0;//本次数据变化方向
u8 num_x=0;//滤波计数器/*****带系数修改的一阶滤波函数入口： NEW_DATA    新采样的角度值OLD_DATA    上次滤波获得的角度结果k           滤波系数(代表在滤波结果中的权重)flag        上次数据变化方向
出口： result      本次滤波角度结果*/
float filter_1_x(float NEW_DATA,float OLD_DATA,float k,u8 flag)
{//角度变化方向，new_flag=1表示角度增加，=0表示角度正在减小if((NEW_DATA-OLD_DATA)>0)new_flag_x=1;else if((NEW_DATA-OLD_DATA)<0)new_flag_x=0;if(new_flag_x==flag)  //此次变化与前一次变化方向是否一致，相等表示角度变化方向一致{num_x++;if(fabs((NEW_DATA-OLD_DATA))>Threshold_1)//当变化角度大于Threshold_1度的时候，进行计数器num快速增加，以达到快速增大K值，提高跟随性num_x+=5;                           if(num_x>Threshold_2)   //计数阈值设置，当角度递增或递减速度达到一定速率时，增大K值{K_x=k+0.2;          //0.2为K_x的增长值，看实际需要修改num_x=0;}}else {num_x=0;K_x=0.01;     //角度变化稳定时K_x值，看实际修改}OLD_DATA=(1-K_x)*OLD_DATA+K_x*NEW_DATA;return OLD_DATA;
}