Snakes算法

上一讲我们讲的图像分割算法主要是基于像素的，这一讲主要是基于曲线的。我们希望能得到一个能够包围住图像轮廓的平滑的曲线，snakes算法就是一个很有用的算法。首先我们将曲线的坐标x、y同一用参数s表示，s范围从0-1代表从起点绕曲线一周再回到原点

我们假定初始化的时候这个曲线已经给定，我们定义这个曲线的能量函数，曲线衍进的过程就是让能量函数降低的的过程，能量函数分为外部能量和内部能量

如下是内部能量的定义，内部能量只与曲线的形状有关。能量由两部分组成：一阶导部分与二阶导部分。一阶导代表曲线的“弹性”，也就是曲线是否被拉伸的非常长；二阶导代表曲线曲折程度，也就是曲线是否弯曲不平滑。曲线弹性越低，弯曲越少能量越低

第二部分是曲线的外部能量，代表曲线与边缘的重合程度。重合程度大的时候能量低。

我们有了能量函数以后如何求它的最小值呢？这涉及到变分法，在此就不细讲了。对于数字图像，我们一般用一定数量的点对曲线进行逼近，之后我们可以用梯度下降法来求得函数的最小值

在曲线衍进的时候还需要注意有时我们需要对曲线的点进行重排（再采样）来保证下一次循环（衍进）时我们有更好的效果

当然这种方法也存在问题，我们的活动轮廓无法看到远处的边缘，因此当周围像素值都差不多的时候曲线可能不会继续向内收敛；第二点是当图像中存在噪声时轮廓很可能和噪声点重合。为了解决这个问题我们可以对图像先进行模糊处理，这相当于将原本的边界变得更加模糊了（即扩大的边界的影响范围），这样就能使轮廓有更好的收敛性

梯度向量流

采用模糊处理的效果实际上并不是很好，更好的方法是采用梯度向量流（gradient vector flow）。梯度向量流用一个新的矢量场来代替梯度场，从而替换外部能量的部分。

我们用如下方式定义这个新的矢量场v，当梯度值较大的时候，我们另这个矢量场与梯度场的值大致相同；当梯度值较小的时候我们让v的值尽量平滑的变化。这也就意味着在图像边缘处，v的值与梯度场的值相同，当我们逐渐远离边界的时候，v的值不像梯度场一样立马变小，而是有一个逐渐变小的过程。实际上这个新的场v也是扩大了边界的影响范围，使得轮廓能够在更远的地方捕捉到边缘