前言

这篇文章介绍了欧拉环游的定义判定，Fleury算法求欧拉图中的欧拉环游，最后给出了中国邮递员问题的解决步骤。

欧拉环游

所谓欧拉环游就是指在一个无向图中，从一个点出发，每条边恰好走一次并且能够回到原点的路径。举个例子,下图中路径ABCD就是一个欧拉环游。这种包含了欧拉环游的图叫欧拉图。

图1 一个欧拉图

那么，给定一个图，我们应该怎么判定它是否是欧拉图呢？很简单。
$非空连接图G是欧拉图\iff 所有顶点的度为偶数$。这里不作证明。

Fleury算法

那么给定一个欧拉图，我们应该如何求欧拉环游呢？这里有一种Fleury算法，可以求解。Fleury算法很简单，简单概括就是过河拆桥，尽量不走独木桥

算法流程:

1. 任取一个顶点$v_0$，令$w_0=v_0$

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2. 路$w_i=v_0{e}_1{v}_1...e_i{v}_i$已经确定，在图中拆除路中出现的边，选择一条边$e_{i+1}$使得
   • $边e_{i+1}和v_i$相连
   • 除非无奈，否则不要图的割边$e_i$（除去这条边后图会变成两个不连通的图）

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3. 如果选不出$e_{i+1}$，结束。否则得到路$w_{i+1}=v_0{e}_1{v}_1...e_i{v}_i{w}_{i+1}{v}_{i+1}$，$e_{i+1}$连接$v_i$和$v_{i+1}$，转到2。

算法复杂度：
设顶点个数为$v$，边数为$ϵ$，那么算法复杂度为$O(v^2ϵ)$遍历每条边，并且判断这条边是否为割边，判断一条边是否为割边复杂度为$O(v^2)$，所以该算法的算法复杂度为$O(v^2ϵ)$

算法图解:

图2 算法图解

中国邮递员问题

讲了半天欧拉环游，接下来我们讲讲它的使用例子。我国数学家管梅谷中国邮递员问题（Chinese postman problem, cpp）。一个邮递员从邮局出发，走完所有他所管辖街道各一次，最后返回邮局，如何选择一条最短路线。这是个求最优环游问题（遍历所有边回到原点并且边权重和最小），我们可以把这个问题转换为欧拉环游问题。

• 假如图G是欧拉图，那么图G任意欧拉环游都是最优环游
• 假如图G不是欧拉图，则某些边必须被多次经过。我们可以将这条边多复制几条，变成多重边。这样中国邮递员就与下面问题等价。

1. 添加重复边，从原来的图中生成欧拉图，并且使得添加的边权重和最小。
2. 求欧拉环游。

管梅谷证明，一条边最多被重复走两次。

这里直接给出求解中国邮递员问题的步骤:

1. 找出图$G$中邻接边为奇数的顶点，将这些邻接边为奇数顶点两两配对，将连通两者的路径上面的边都改为加上一条重复边。
2. 若某对结点间有多于两条边连接，则去掉其中偶数条边，留下一条或两条边连接这两个结点，直到每对相邻结点至多由2条边连接。
3. 检查每个圈$C$，若某个圈$C$上重复边集$E$的权和超过这个圈的权和的一半，则将$C$中原来的重复边去除，将原来的没有重复边的边加上重复边，直到所有的圈其重复边的权和不超过此圈权和的一半
4. 用Fleury算法求欧拉回路。

参考视频
算法图解

图3 中国邮递员算法图解