Radon 变换
介绍
图像投影，就是说将图像在某一方向上做线性积分（或理解为累加求和）。如果将图像看成二维函数f(x, y)，则其投影就是在特定方向上的线性积分，比如f(x, y)在垂直方向上的线性积分就是其在x轴上的投影；f(x, y)在水平方向上的线积分就是其在y轴上的投影。通过这些投影，可以获取图像在指定方向上的突出特性，这在图像模式识别等处理中可能会用到。
Radon变换（拉东变换），就是将数字图像矩阵在某一指定角度射线方向上做投影变换。这就是说可以沿着任意角度theta来做Radon变换。
如图所示：在直角坐标系中，f(x,y)为线l上的点，P为坐标原点到线l上的距离，表示线l法线方向的夹角，因此直线方程可以表示为：
l线上的Radon变换的公式是：
另：Delta函数（狄拉克函数）为一个广义函数，没有具体定义，该函数在非零的点取值均为0，而在整个定义域的积分为1，这里写一个最简单的Delta函数，便于理解：
结合直线方程，则Delta函数可以表示为：
Radon变换可以写为
Radon变换可以理解为图像在空间的投影，
空间上的每一点对应(x,y)空间中的一条直线。
Radon变换可以用于直线检测，比Hough变换优越的地方在于：Radon变换可以针对非二值图像，Radon变换检测直线：当灰度值高的线段会在P 空间中形成亮点，而低灰度值的直线会在P 空间中形成暗点，而Hough变换需要针对二值图像进行，仅仅积攒非0点在某一个上的个数。
Radon变换的积分运算环节抵消了噪声所引起的亮度起伏，从直线检测方面看，Radon变换P 空间较源图像空间域的SNR高，因此Radon变换被用于低SNR图像线检测的原因。
理解
Radon变换的本质是将原来的函数做了一个空间转换，即，将原来的XY平面内的点映射到AB平面上，那么原来在XY平面上的一条直线的所有的点在AB平面上都位于同一点。记录AB平面上的点的积累厚度，便可知XY平面上的线的存在性。这便是大家所公认的Radon变换的实质所在。
上述听起来很在理也很简单，但却少了直观性。那么，详细的数学理论是什么呢?请看下文：
如果我们将图像中心设为原点，用\rho（直线到原点的距离）和\theta（某一特定方向）代替a、b，即，理解为图像在空间的投影，如图-1所示，用参数表示上述直线，则有：
假定有一个函数f(x,y)，如图-2所示，那么该函数过直线L区域的积分即为：
其中ds是该直线的微分。
上述关于x，y的积分是很容易求解的，其中一种求解技巧是借助Delta函数，上述积分可以写为：
另：Delta函数（狄拉克函数）为一个广义函数，没有具体定义，该函数在非零的点取值均为0，而在整个定义域的积分为1，这里写一个最简单的Delta函数，便于理解：
因而，给定一组\rho \theta那么就可以得出一个沿L(\rho,\theta)的积分值。因此，Radon变换就是函数f (x,y)的线积分，如图-3所示。
假如有很多平行于L的线，他们有相同的\theta，径向坐标\rho却不同，这就很好的印证了matlab自带的radon变换命令中每个\theta角度的Radon变换结果是有两个输出项R（特定角度下的Radon变换值也即线积分值）与xp，一一对应（xp可缺省）。我们对每一条这样的平行线都做f(x,y)的线积分，会产生很多投影线，如图-4所示。也就是说对一幅图像在某一特定角度下的Radon变换会产生N个线积分值（Radon变换），而每一个线积分值会对应一个径向坐标xp，如图-5所示。各个角度的Radon变换值汇总在一起就构成一幅Radon变化图。
Radon变换将原图像空间中的直线映射为\rho \theta 空间中的点（线积分值），图像中高灰度值的直线会在\rho \theta空间形成亮点，而低灰度值的线段在\rho \theta空间形成暗点。因而，对直线的检测可转化为在变换区域对亮点、暗点的检测，另外，Radon变换的逆变换常用于医学CT断层成像图像的重建。
下面给出我个人的几个简单的Radon变换与其重构matlab实验结果：
另外：我实验的图像是长方形的，发现重构的结果内容显示并不全，研究了matlab内置的radon逆变换之后，稍微做了显示更改这才显示完全。
霍夫（hough）变换
理论分析
Hough变换的方法基本思想可以从检测图像中的直线这个简单问题中看到。直线由两点A=(X1,Y1)和B=(X2,Y2)定义，所下图1(a)示。通过点A的所有直线由y1=k*x1+q表示，k和q是某些值。这意味着同一个方程可以解释为参数空间k,q的方程。因此通过点A的所须直线可以表示为方程q=-x1*k+y1图1.(b)。类似地通过点B的直线可以表示q=-x2*k+y2。在参数空间k和q中，两条直线的唯一公共点是在原图像空间中表示连接点A和B的唯一存在的直线。
这意味着图像中的每条直线在参数空k,q中由单独一个点表示，直线的任何一部分都变换为同一个点。直线检测的主要思想是确定图中所在的直线像素，将通过这些像素的所在直线变换到参数空间的对应点，在参数空间检测点（a,b),此点是图像中出现的直线y=ax+b的Hough变换的结果。
图像中所有可能的直线像素的检测，可以通过在图像中进行边缘检测子得到，所有边缘幅值超过某个阈值的像素都可以看作是可能的直线像素。在最一般的情况下，当我们没有任何有关图像中的直线信息，因此，所有方向的直线可能通过任何边缘像素。而在现在实现中，这些直线的数目是无限的，然而，为了实际目标，只能有限数目的直线方向。直线的可能方向定义了参数K的一个离散化，因此参数q也被采样为有限数目的值。所以参数空间不是连续的，而是被表示为矩形单元，称之为累计数组(accumulator array) A,它的元素是累计单元(Accumulator cells) A(k,q). 对于每个边缘元素，确定其参数k和q。这些参数表示了通过此像素的允许方向的直线。对于每条这样的直线，直线参数k和q的值用来增加累计单元A(k,q)的值。如果公式y=ax+b所表示的直线出现在图像中，A(a,b)的值会被增加很多次，而次数等于直线y=ax+b作为可能通过某个边缘像素的直线被检测到的数目。
对于任意像素P，通过它的直线可能是任何的方向k,但是第二个参数q受像素P图像坐标和方向k所约束。因此，存在于图像中的直线会引起图像中适合的累计单元值变大，而通近边缘像素的其他直线，它们不对应于图像中存在的直线，对于每个边缘像素具有不同的参数k和q，所以对应的累计单元极少被增加。即：图像中存在的直线可以作为累计数组中的高值累计单元被检测出业，检测到的直线参数由累计数组的坐标给出，结果是图像中直线的检测被为累计空间中的局部极值的检测。
我们可以注意到直线的参数方程y =kx+q只适合解释Hough变换原理，在检测垂直线条和参数的非线性离散化时会遇到困难。如果直线表示成s=xcosθ+ysinθ。Hough变换就没有这些局限性。直线还是被变换为单个点，因此可用该原理进行直线检测。如下图2所示：
我们要注意到Hough变换的重要性质是对图像中直线的殘缺部分、噪声以及其它共存的非直线结构不敏感。因为从图像空间到累计空间的变换的Robuestness引起的，直线殘缺的部分只会造成较低的局部极值。
https://blog.csdn.net/sinat_26681907/article/details/52277598
https://blog.csdn.net/songzitea/article/details/17027849
