1. 引入
数是数学的一个最基本概念, 回顾一下我们曾经学习过的数的发展过程:
(1) 代数性质: 关于数的加, 减, 乘 , 除等运算的性质称为数的代数性质.
(2) 数集: 数的集合简称数集.
常见的数集: 复试C; 实数R;有理数Q等等. 它们有一个共同的性质就是对加减乘除运算封闭.
2. 数域的定义
设F是由一些复数组成的集合, 其中包括0和1, 如果F中任意两个数的和, 差, 积, 商(除数不为0)扔是F中的数, 则称F为一个数域.
从数域的定义可以看出一个数域要满足:
- 为复数的子集;
- 包含0和1;
- 对加减乘除运算封闭.
常见的数域: 复数域C, 实数域R, 有理数域Q. (自然数集合N和整数集合Z都不是数域.)
注意:
(1) 若数集F中任意两个数作某种运算的结果仍在F中, 则称数集F对这个运算时封闭的.
(2) 数域的等价定义: 如果一个包含0, 1在内的数集F对于加法, 减法, 乘法和除法(除数不能为0)都是封闭的, 则称数集F为一个数域.
那么除了有理数域Q, 实数域R和复数域C外, 还有其他的数域吗? 当然有!
例 1. 证明: 数集 Q ( 2 ) = { a + b 2 ∣ a , b ∈ Q } Q( \sqrt2)=\{a + b \sqrt2 | a, b \in Q\} Q(2)={a+b2∣a,b∈Q}是一个数域.
证明:
(1) { a + b 2 ∣ a , b ∈ Q } ⊆ C \{a+b\sqrt2| a, b\in Q\} \subseteq C {a+b2∣a,b∈Q}⊆C
(2) 因为 0 = 0 + 0 2 , 1 = 1 + 0 2 0=0 +0\sqrt2, 1= 1+0\sqrt2 0=0+02,1=1+02, 所以 0 , 1 ∈ Q ( 2 ) 0, 1 \in Q(\sqrt2) 0,1∈Q(2)
(3) 设 a , b , c , d ∈ Q a, b, c, d\in Q a,b,c,d∈Q, 则有
x ± y = ( a ± c ) + ( b ± d ) 2 ∈ Q ( 2 ) , x\pm y = (a\pm c) + (b\pm d)\sqrt2 \in Q(\sqrt2), x±y=(a±c)+(b±d)2∈Q(2),
x . y = ( a c + 2 b d ) + ( a d + b c ) 2 ∈ Q ( 2 ) x.y =(ac+2bd) + (ad+bc)\sqrt2 \in Q(\sqrt2) x.y=(ac+2bd)+(ad+bc)2∈Q(2)
设 a + b 2 ≠ 0 a+b\sqrt2 \ne 0 a+b2=0, 则有 a − b 2 ≠ 0 a-b\sqrt2 \ne 0 a−b2=0
( 否则, 若 a − b 2 = 0 a-b\sqrt2 =0 a−b2=0, 则 a = b 2 a=b\sqrt2 a=b2,
\quad 于是有 a b = 2 ∈ Q \frac{a}{b} =\sqrt2 \in Q ba=2∈Q
\quad 或 a = 0 , b = 0 ⇒ a + b 2 = 0 a=0, b=0\Rightarrow a+b\sqrt2=0 a=0,b=0⇒a+b2=0 皆矛盾)
c + d 2 a + b 2 = ( c + d 2 ) ( a − b 2 ) ( a + b 2 ) ( a − b 2 ) = a c − 2 b d a 2 − 2 b 2 + a d − b c a 2 − 2 b 2 2 ∈ Q ( 2 ) \frac{c+d\sqrt2}{a+b\sqrt2}=\frac{(c+d\sqrt2)(a-b\sqrt2)}{(a+b\sqrt2)(a-b\sqrt2)}=\frac{ac-2bd}{a^2-2b^2}+\frac{ad-bc}{a^2-2b^2}\sqrt2\in Q(\sqrt2) a+b2c+d2=(a+b2)(a−b2)(c+d2)(a−b2)=a2−2b2ac−2bd+a2−2b2ad−bc2∈Q(2)
所以, Q ( 2 ) Q(\sqrt2) Q(2)为数域.
可以证明类似 { a + b p ∣ a , b ∈ Q } , p 为 素 数 \{a+b\sqrt p|a,b\in Q\}, p为素数 {a+bp∣a,b∈Q},p为素数, 都为为数域, 所以数域有无穷多个.
例2: 设F是至少含两个数的数集, 证明: 若F中任意两个数的差与商(除数不为0)仍属于F, 则F为一个数域.
证明: 由题设任取 a , b ∈ F a, b \in F a,b∈F, 有
0 = a − a ∈ F , 1 = b b ∈ F ( b ≠ 0 ) 0=a-a\in F, 1=\frac{b}{b}\in F(b\ne 0) 0=a−a∈F,1=bb∈F(b=0),
a − b ∈ F , a b ∈ F ( b ≠ 0 ) a-b\in F, \frac{a}{b}\in F(b\ne 0) a−b∈F,ba∈F(b=0),
a + b = a − ( 0 − b ) ∈ F a+b = a-(0-b)\in F a+b=a−(0−b)∈F,
b ≠ 0 时 , a b = a 1 b ∈ F , b = 0 时 , a b = 0 ∈ F b \ne 0时, ab=\frac{a}{\frac{1}{b}}\in F, b=0时, ab=0\in F b=0时,ab=b1a∈F,b=0时,ab=0∈F,
所以, F是一个数域.
3. 数域的性质
性质1: 任意数域F都包括有理数域Q. 即, 有理数域为最小数域.
证明:
设F为任意一个数域. 由定义可知:
0 ∈ F , 1 ∈ F . \quad 0\in F, 1\in F. 0∈F,1∈F.
于是有
∀ m ∈ Z + , m = 1 + 1 + . . . + 1 ∈ F \forall m \in Z^+, m = 1+1+...+1\in F ∀m∈Z+,m=1+1+...+1∈F
进而有
∀ m , n ∈ Z + , m n ∈ F \quad \forall m, n\in Z^+, \frac{m}{n}\in F ∀m,n∈Z+,nm∈F,
− m n = 0 − m n ∈ F \quad -\frac{m}{n}=0-\frac{m}{n}\in F −nm=0−nm∈F.
而任意一个有理数可表示为两个整数的商, 所以
Q ⊆ F Q\subseteq F Q⊆F
