在广告投放系统中，广告通常分为保量交付广告（Guaranteed Delivery，GD，合约广告）和不保量交付（Non-Guaranteed Delivery，NGD，竞价广告）两种。合约广告是提前签好合约的，需要将广告投放给特定人群，投放到期如果投放量不足时会有赔偿。对于这个问题，就需要确定针对不同投放约束的客户，如何分配流量，才能使得收益最大，所以这个问题，本质上是流量分配问题。

1 流量分配问题抽象

流量分配问题，可简化为二部图（bipartite graph），如下图所示，$○$ 表示流量供给方的数据节点（不同的人群定向下的流量库存），$\square$ 表示流量需求方节点（期望广告投放的特性人群定向的需求），两者之间会有很多的连线，每一条连线都代表供给方节点能支持需求方的定向需求，但不一定会分配。

供需二部图

2 HWM算法

HWM，即 High Water Mark Algorithm，HWM通过简单的启发算法解决库存分配的问题，算法主要思想是：首先考虑能满足合约的所有流量，流量越少重要程度越高更靠前，即更需要提前考虑，然后将流量按照所需量平分，转换为概率。

算法核心步骤如下：
step 1
初始化每个节点的剩余供给量$r_i=s_i$

step 2
计算所有符合约定投放量$d_j$定向约束的供给流量和$Sj$

$$S_j=\sum _{i\in \Gamma (j)}^n(s_i)（1）$$

其中
$s_i$：为第i节点预估库存量
$S_j$：为满足$j$定向条件的全部节点库存总量

根据公式（1）计算得

200k(Male)：$S_1=400+400+100=900$
200k(CA)：$S_2=100+100=200$
1M(Age=5)：$S_3=400+400+100+100+500+300=1800$

通过计算得出排序：$S_2$，$S_1$，$S_3$，即优先分配可分流量少的广告

step 3
根据①计算的顺序2,1,3，依序计算各个合约的供给比例

$$\sum _{i\in \Gamma (j)}^{n}min(r_i,s_i{a}_j)=dj（2）$$

其中:
$\Gamma (j)$：为满足合约$j$定向条件的所有人群集合
$d_j$：为合约$j$的需求投放量

根据公式（2）计算：
对于2： $200=min(100,100a_j)+min(100,100a_j)$
$a_j=1$
对于1： $200=min(400,400a_j)+min(400,400a_j)+min(0,100a_j)$
$a_j=\frac{1}{4}$
对于3： $1000=min(300,400a_j)+min(300,400a_j)+min(0,100a_j)+min(0,100a_j)+min(500,500a_j)+min(300,300a_j)$
$a_j=\frac{5}{8}$

注：如果无解，则$a_j=1$

计算每个预约投放量的同时，要更新供给节点剩余量
$$r_i=r_i-min(r_i,s_i{\alpha }_j)$$
这样，就可以按照对应比例进行流量分配，且能够保证不同人群定向的投放量。

注：该二部图并不是严格意义上的供给最小互斥散列集合

如上图，这是严格的最小互斥散列供给节点，该图参考【HWM在线分配算法】

参考文档
1 HWM算法论文，google学术下载
2 https://chierqj.github.io/hwm-zai-xian-fen-pei-suan-fa/