正则化（Regularization）

机器学习中几乎都可以看到损失函数后面会添加一个额外项，常用的额外项一般有两种，一般英文称作 $\ell_1$ -norm 和 $\ell_2$ -norm，中文称作 L1正则化 和 L2正则化，或者 L1范数 和 L2范数。

L1正则化和L2正则化可以看做是损失函数的惩罚项。所谓『惩罚』是指对损失函数中的某些参数做一些限制。对于线性回归模型，使用L1正则化的模型建叫做Lasso回归，使用L2正则化的模型叫做Ridge回归（岭回归）。下图是Python中Lasso回归的损失函数，式中加号后面一项 $\alpha||w||_1$ 即为L1正则化项。

lasso regression

下图是Python中Ridge回归的损失函数，式中加号后面一项 $\alpha||w||_2^2$ 即为L2正则化项。

ridge regression

一般回归分析中 $w$ 表示特征的系数，从上式可以看到正则化项是对系数做了处理（限制）。L1正则化和L2正则化的说明如下：

L1正则化是指权值向量 $w$ 中各个元素的绝对值之和，通常表示为 $w||_1$
L2正则化是指权值向量 $w$ 中各个元素的平方和然后再求平方根（可以看到Ridge回归的L2正则化项有平方符号），通常表示为 $w||_2$

一般都会在正则化项之前添加一个系数，Python的机器学习包sklearn中用 $\alpha$ 表示，一些文章也用 $\lambda$ 表示。这个系数需要用户指定。

那添加L1和L2正则化有什么用？下面是L1正则化和L2正则化的作用，这些表述可以在很多文章中找到。

L1正则化可以产生稀疏权值矩阵，即产生一个稀疏模型，可以用于特征选择
L2正则化可以防止模型过拟合（overfitting）；一定程度上，L1也可以防止过拟合

稀疏模型与特征选择的关系

上面提到L1正则化有助于生成一个稀疏权值矩阵，进而可以用于特征选择。为什么要生成一个稀疏矩阵？

稀疏矩阵指的是很多元素为0，只有少数元素是非零值的矩阵，即得到的线性回归模型的大部分系数都是0. 通常机器学习中特征数量很多，例如文本处理时，如果将一个词组（term）作为一个特征，那么特征数量会达到上万个（bigram）。在预测或分类时，那么多特征显然难以选择，但是如果代入这些特征得到的模型是一个稀疏模型，表示只有少数特征对这个模型有贡献，绝大部分特征是没有贡献的，或者贡献微小（因为它们前面的系数是0或者是很小的值，即使去掉对模型也没有什么影响），此时我们就可以只关注系数是非零值的特征。这就是稀疏模型与特征选择的关系。

L1和L2正则化的直观理解

这部分内容将解释为什么L1正则化可以产生稀疏模型（L1是怎么让系数等于零的），以及为什么L2正则化可以防止过拟合。

正则化和特征选择的关系

假设有如下带L1正则化的损失函数：
$J_0 + \alpha \sum_w{|w|} \tag{1}$
其中 $J_0$ 是原始的损失函数，加号后面的一项是L1正则化项， $\alpha$ 是正则化系数。注意到L1正则化是权值的绝对值之和， $J$ 是带有绝对值符号的函数，因此 $J$ 是不完全可微的。机器学习的任务就是要通过一些方法（比如梯度下降）求出损失函数的最小值。当我们在原始损失函数 $J_0$ 后添加L1正则化项时，相当于对 $J_0$ 做了一个约束。令 $\alpha \sum_w{|w|}$ ，则 $J = J_0 + L$ ，此时我们的任务变成在 $L$ 约束下求出 $J_0$ 取最小值的解。考虑二维的情况，即只有两个权值 $w^1$ 和 $w^2$ ，此时 $L = |w^1|+|w^2|$ 。对于梯度下降法，求解 $J_0$ 的过程可以画出等值线，同时L1正则化的函数 $L$ 也可以在 $w^1w^2$ 的二维平面上画出来。如下图：

@图1 L1正则化
图1 L1正则化

图中等值线是 $J_0$ 的等值线，黑色方形是 $L$ 函数的图形。 $L = |w^1|+|w^2|$ ，这个函数画出来就是一个方框（可以自己动手画一下）。

在图中，当 $J_0$ 等值线与 $L$ 图形首次相交的地方就是最优解。上图中 $J_0$ 与 $L$ 在 $L$ 的一个顶点处相交，这个顶点就是最优解。注意到这个顶点的值是 $w^1, w^2) = (0, w)$ 。可以直观想象，因为 $L$ 函数有很多『突出的角』（二维情况下四个，多维情况下更多）， $J_0$ 与这些角接触的机率会远大于与 $L$ 其它部位接触的机率（这是很直觉的想象，突出的角比直线的边离等值线更近写），而在这些角上，会有很多权值等于0（因为角就在坐标轴上），这就是为什么L1正则化可以产生稀疏模型，进而可以用于特征选择。

而正则化前面的系数 $\alpha$ ，可以控制 $L$ 图形的大小。 $\alpha$ 越小， $L$ 的图形越大（上图中的黑色方框）； $\alpha$ 越大， $L$ 的图形就越小，可以小到黑色方框只超出原点范围一点点，这是最优点的值 $(w 1, w 2) = (0, w)$ 中的 $w$ 可以取到很小的值。

类似地，假设有如下带L2正则化的损失函数：

$J_0 + \alpha \sum_w{w^2} \tag{2}$

同样可以画出他们在二维平面上的图形，如下：

@图2 L2正则化
图2 L2正则化

二维平面下L2正则化的函数图形是个圆（绝对值的平方和，是个圆），与方形相比，被磨去了棱角。因此 $J_0$ 与 $L$ 相交时使得 $w^1$ 或 $w^2$ 等于零的机率小了许多（这个也是一个很直观的想象），这就是为什么L2正则化不具有稀疏性的原因，因为不太可能出现多数 $w$ 都为0的情况。

为什么梯度下降的等值线与正则化函数第一次交点是最优解？

评论中有人问到过这个问题，这是带约束的最优化问题。这应该是在大一的高等数学就学到知识点，因为这里要用到拉格朗日乘子。如果有这样的问题，就需要复习一下高等数学了。这里有一个比较详细的数学讲解，可以参考：带约束的最优化问题。

L2正则化和过拟合的关系

拟合过程中通常都倾向于让权值尽可能小，最后构造一个所有参数都比较小的模型。因为一般认为参数值小的模型比较简单，能适应不同的数据集，也在一定程度上避免了过拟合现象。可以设想一下对于一个线性回归方程，若参数很大，那么只要数据偏移一点点，就会对结果造成很大的影响；但如果参数足够小，数据偏移得多一点也不会对结果造成什么影响，专业一点的说法是『抗扰动能力强』。

那为什么L2正则化可以获得值很小的参数？

以线性回归中的梯度下降法为例，使用Andrew Ng机器学习的参数表示方法。假设要求解的参数为 $\theta$ ， $h_\theta(x)$ 是我们的假设函数。线性回归一般使用平方差损失函数。单个样本的平方差是 $(h_\theta(x) - y)^2$ ，如果考虑所有样本，损失函数是对每个样本的平方差求和，假设有 $m$ 个样本，线性回归的代价函数如下，为了后续处理方便，乘以一个常数 $\frac{1}{2m}$ ：

$J(\theta) = \frac{1}{2m}\sum_{i=1}^{m}(h_\theta(x^{(i)}) - y^{(i)})^2 \tag{3}$

在梯度下降算法中，需要先对参数求导，得到梯度。梯度本身是上升最快的方向，为了让损失尽可能小，沿梯度的负方向更新参数即可。

对于单个样本，先对某个参数 $\theta_j$ 求导：

$\frac{\partial}{\partial \theta_j} J(\theta) = \frac{1}{m} (h_\theta(x) - y) \frac{\partial}{\partial \theta_j} h_\theta(x) \tag{3.1}$

注意到 $h_\theta(x)$ 的表达式是 $h_\theta(x)=\theta_0 x_0 + \theta_1 x_1 + \dots + \theta_n x_n$ . 单个样本对某个参数 $\theta_j$ 求导， $\frac{\partial}{\partial \theta_j} h_\theta(x) = x_j$ . 最终(3.1)式结果如下：

$\frac{\partial}{\partial \theta_j} J(\theta) = \frac{1}{m} (h_\theta(x) - y) x_j \tag{3.2}$

在考虑所有样本的情况，将每个样本对 $\theta_j$ 的导数求和即可，得到下式：

$\frac{\partial}{\partial \theta_j} J(\theta) = \frac{1}{m} \sum_{i=1}^m (h_\theta(x^{(i)}) - y^{(i)}) x_j^{(i)} \tag{3.3}$

梯度下降算法中，为了尽快收敛，会沿梯度的负方向更新参数，因此在(3.3)式前添加一个负号，并乘以一个系数 $\alpha$ （即学习率），得到最终用于迭代计算参数 $\theta_j$ 的形式：

$\theta_j := \theta_j - \alpha \frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}(h_\theta(x^{(i)}) - y^{(i)})x_j^{(i)} \tag{4}$

其中 $\alpha$ 是学习率（learning rate）。上式是没有添加L2正则化项的迭代公式，如果在原始代价函数之后添加L2正则化，则迭代公式会变成下面的样子：
$\theta_j := \theta_j(1-\alpha \frac{\lambda}{m}) - \alpha \frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}(h_\theta(x^{(i)}) - y^{(i)})x_j^{(i)} \tag{5}$

其中 $\lambda$ 就是正则化参数。从上式可以看到，与未添加L2正则化的迭代公式相比，每一次迭代， $\theta_j$ 都要先乘以一个小于1的因子（即 $(1-\alpha \frac{\lambda}{m})$ ），从而使得 $\theta_j$ 不断减小，因此总的来看， $\theta$ 是不断减小的。

最开始也提到L1正则化一定程度上也可以防止过拟合。之前做了解释，当L1的正则化系数很小时，得到的最优解会很小，可以达到和L2正则化类似的效果。

正则化参数的选择

L1正则化参数

通常越大的 $\lambda$ 可以让代价函数在参数为0时取到最小值。因为正则化系数越大，正则化的函数图形（上文图中的方形或圆形）会向坐标轴原点收缩得越厉害，这个现象称为shrinkage，过程可以称为shrink to zero. 下面是一个简单的例子，这个例子来自Quora上的问答。为了方便叙述，一些符号跟这篇帖子的符号保持一致。

假设有如下带L1正则化项的代价函数：

$\lambda ||x||_1$