特别行动队题解

特别行动队题解

刷水题什么的最愉快了。
题意十分明了，就是选出一种分配方案将士兵分为若干组，使修正后的战斗力最大。
我们先可以写出暴力dp转移：
设\(f[n]\)为将前\(i\)个士兵分组，且第\(i\)个士兵为最后一组最后一个的最大战斗力。
\(f[i]=max_{j=1}^{j<i}f[j]+a*\sum_{k=j+1}^{k<=i}x[k] *\sum_{k=j+1}^{k<=i}x[k] +b*\sum_{k=j+1}^{k<=i}x[k] +c\)
时间复杂度:\(O(n^3)\)
设前缀和\(sum[i]=\sum_{j=1}^{j<=i}x[j]\)
则化为：\(f[i]=max_{j=1}^{j<i}f[j]+a*(sum[i]-sum[j])*(sum[i]-sum[j])+b*(sum[i]-sum[j])+c\)
最后斜率优化一下：
拆开平方，移项：
\(f[i]-a*sum[i]*sum[i]-b*sum[i]-c+2*sum[i]*sum[j]=f[j]+a*sum[j]*sum[j]-b*sum[j]\)
其中:
\(\bullet y=f[j]+a*sum[j]*sum[j]-b*sum[j]\)
\(\bullet k=2*sum[i]\)
\(\bullet x=sum[j]\)
\(\bullet b=f[i]-a*sum[i]*sum[i]-b*sum[i]-c\)
\(\therefore f[i]=y-kx+a*sum[i]*sum[i]+b*sum[i]+c\)

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long 
using namespace std;
const int N=1000006;
int n,head=1,tail=1;
ll f[N],sum[N],ans=0,a,b,c,t;
struct point{ll x,y;}tmp,q[N];
inline int read(){int T=0,F=1; char ch=getchar();while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-') F=-1; ch=getchar();}while(ch>='0'&&ch<='9') T=(T<<3)+(T<<1)+(ch-48),ch=getchar();return F*T; 
}
bool check(point u,point v,int z){return v.y-u.y>=2*a*sum[z]*(v.x-u.x);}
bool check2(point u,point v,point z){return (v.y-u.y)*(z.x-v.x)<=(z.y-v.y)*(v.x-u.x);}
int main(){n=read(),a=read(),b=read(),c=read();q[tail].x=0,q[tail].y=0;for(int i=1;i<=n;++i){t=read(),sum[i]=sum[i-1]+t;while(head<tail&&check(q[head],q[head+1],i)) ++head;f[i]=a*sum[i]*sum[i]+b*sum[i]+q[head].y-2*a*sum[i]*q[head].x+c,ans=max(ans,f[i]),tmp.x=sum[i],tmp.y=f[i]+a*sum[i]*sum[i]-b*sum[i];while(head<tail&&check2(q[tail-1],q[tail],tmp)) --tail;q[++tail]=tmp;} printf("%lld\n",ans);return 0;
}