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1. 横向滤波器

1.1. 概念

横向滤波器（transversal filter），也称抽头延迟线滤波器（tapped-delay line filter）或有限脉冲响应滤波器（fir filter），是自适应滤波器中最常用的一种滤波器结构。其结构如图1 所示，可以看出，每输入一个数据 $u(n)$ 横向滤波器对应地输出一个数据 $y(n)$。

图 1 横向滤波器

  
它由三个基本单元组成：单位延迟单元（$z^{-1}$），乘法器和加法器。$w_m$ 称为滤波器的系数或抽头权值。$u(n)$ 经过单位延迟单元后的结果是 $u(n-1)$。延迟单元的个数通常称为滤波器的阶数。

根据横向滤波器的结构可得当 $u(n)$ 进入到滤波器的时候，滤波器的输出为：
$$y(n)=\sum _{m=0}^M{w}_{m}u(n-m)\text{\hspace{1em}(1)}$$

其中 $n$ 表示时刻，$M$ 为滤波器的阶数，$w_m$ 为第 $m$ 个抽头线上的权值，$u(n-m)$ 表示 $n$ 时刻横向滤波器第 $m$ 个抽头线上的输入数据。亦可将其表示成向量内积的形式，令 $\vec{u}(n)$ 表示 $n$ 时刻的滤波器输入向量（即 $n$ 时刻滤波器每个抽头输入组成的列向量），$\vec{w}(n)$ 表示 $n$ 时刻的抽头权向量（即 $n$ 时刻滤波器每个抽头权值组成的列向量），则：
$$y(n)={\vec{u}}^T(n)\vec{w}(n)\text{\hspace{1em}(2)}$$

1.2. 举例

假设进入横向滤波器的数据按照时间先后顺序依次为：$$1,2,3,4,5$$
横向滤波器的系数从左到右依次为：$$5,6,7$$
可知此例中，横向滤波器的阶数为 $2$，长度为 $3$（横向滤波器的长度比它的阶数大 $1$ ）。对照着横向滤波器的结构图可知：

在数字 $3$ 到来的时候，滤波器的输出为：$$3\ast 5+2\ast 6+1\ast 7=34$$

在数字 $4$ 到来的时候，滤波器的输出为：$$4\ast 5+3\ast 6+2\ast 7=52$$

在数字 $5$ 到来的时候，滤波器的输出为：$$5\ast 5+4\ast 6+3\ast 7=70$$

由以上例子可以更进一步理解单位延迟单元的作用，即取其输入数据的前一时刻的数据。

2. 参考文献

[1] 《自适应滤波器原理》(第五版) 原作者：Simon Haykin