0. 概要

1. 量子门基本性质

1.1 量子门与布洛赫球面的关系

1.2 量子门与幺正矩阵的关系

2. 泡利矩阵: 量子X,Y,Z,ID门

2.1 量子X门（量子非门）

2.2 量子Z门

2.3 量子Y门

2.4 量子ID门

6. 量子H门

7. 量子Z旋转门

7.1 量子S门

7.2 量子S.H门

7.3 量子T门

7.4 量子T.H门

8. 量子x旋转门

9. 量子y旋转门

10. 量子sqrt(NOT)门

11. 量子RESET操作

12. 泡利矩阵的指数

0. 概要

量子计算、量子信息、量子编程自学笔记系列。

用自己能看懂的方式来表述对于量子计算基础知识的理解。

不求体系完备和逻辑严谨、但求通俗易懂。或能顺便给路过的小伙伴一些参考和启发那是纯属巧合概不认账^-^。当然，这里仅限于轮廓的勾勒和要点的连接，对细节感兴趣的话还是要找正经的参考书。

本节介绍各种作用于单个量子比特的门。

1. 量子门基本性质

在量子电路模型中，量子门是作用于量子比特的基本电路单元，每个量子门对应于一个线性映射，相应地对应于（计算基底下的，以下如无特别说明，均指计算基底下）一个幺正矩阵。因此，量子门作用于量子比特对应于幺正矩阵乘以量子比特态矢量。

所有的量子门都是可逆的。

1.1 量子门与布洛赫球面的关系

实际上，所有的单量子比特门都对应着布洛赫球面上的旋转操作。

以下要介绍的X、Y、Z、H门都对应于布洛赫球面上旋转180度（但是旋转轴各异）的量子门。除此之外，还可以创建出任意角度的量子门。

可以说，量子运算就是布洛赫球面上的旋转操作的组合！

1.2 量子门与幺正矩阵的关系

前面（量子笔记：酉矩阵（幺正矩阵）、量子门的可逆性）介绍过幺正群的概念： $\forall n \in \mathbb{N}$ ，所有 $n$ 阶幺正矩阵的集合在矩阵乘法运算下构成一个群，该群被称为n阶幺正群（unitary group）,记为 $U(n,\mathbb{C})$ 。这是基于 $\mathbb{C}$ 的 $n$ 阶一般线性群 $GL(n,\mathbb{C})$ 的子群。

取n=2得到 $U(2,\mathbb{C})$ ，即所有2x2阶幺正矩阵构成的群，每个量子门都对应一个2x2阶幺正矩阵；反之，每一个2x2阶幺正矩阵都对应一个量子门！

2. 泡利矩阵: 量子X,Y,Z,ID门

泡利矩阵是一组三个2×2的幺正厄米复矩阵，分别记为 $\sigma_x$ 、 $\sigma_y$ 和 $\sigma_z$ 矩阵，以物理学家沃尔夫冈·泡利命名。在量子力学中，它们出现在泡利方程中描述磁场和自旋之间相互作用的一项。泡利矩阵和单位矩阵I（也被称为第零号泡利矩阵 $\sigma_0$ ）一起张成2×2厄米矩阵的向量空间。

4个泡利矩阵（包括 $\sigma_0$ ）分别对应4个最基本的量子门，4个矩阵分别如下所示：

$\sigma_x = \begin{bmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{bmatrix}$ ， $\sigma_y = \begin{bmatrix} 0 & -i\\ i & 0 \end{bmatrix}$ , $\sigma_x = \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{bmatrix}$ , $\sigma_0 = \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

通常也用X、Y、Z分别指代前三个泡利矩阵。

【问题1】试证明： $XZ+ZX = YZ+ZY=YX+XY=0$ . 这个性质也被称为反对易性（anti-commuteness）.

【问题2】分别求矩阵X，Y和Z的特征根和对应的特征向量。

2.1 量子X门（量子非门）

量子X门对应的矩阵为 $\sigma_x$ 。

考虑一个量子比特的态矢量为 $|\psi \rangle = a |0\rangle + b |1\rangle = \begin{bmatrix} a\\b \end{bmatrix}$ ，则该量子比特通过量子X门（ $\sigma_x$ 矩阵作用与该态矢量）的效果为：

$\sigma_x |\psi\rangle = \begin{bmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a\\b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} b\\a \end{bmatrix} = b |0\rangle + a|1\rangle$

从布洛赫球面（量子笔记：全局相位、相对相位、布洛赫球面）上看，X门会让球面上的点绕x轴（所以对应矩阵称为 $\sigma_x$ ）旋转180度。下半球面的点会移动到上半球面，上半球面的点会移动到下半球面。北极点会移动到南极点，南极点会移动到北极点。

从旋转的角度来看，在 $\mathbb{R}^3$ 中绕x轴旋转 $\theta$ 弧度的矩阵运算方式如下：

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & cos(\theta) & -sin(\theta)\\ 0 & sin(\theta) & cos(\theta) \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\ y\\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x \\ ycos(\theta) - z sin(\theta) \\ ysin(\theta) + z cos(\theta) \end{bmatrix}$

代入 $\theta = \pi$ 则得到对应的旋转矩阵为 $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0\\ 0 & 0& -1 \end{bmatrix}$ 。

在 $\mathbb{R}^3$ 笛卡尔坐标系中，显然有 $|0\rangle = \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{bmatrix}$ , $|1\rangle = \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ -1 \end{bmatrix}$ 。用以上旋转矩阵作用于这两个向量同样可以得到：

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0\\ 0 & 0& -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ -1 \end{bmatrix}$ , $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0\\ 0 & 0& -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{bmatrix}$

量子X门作用于{ $|+\rangle, |-\rangle$ }、{ $|i\rangle, |-i\rangle$ }的情况如何呢？

如上所述，量子X门是使球面上的点绕x轴旋转180度，因此根据布洛赫球面的几何性质上来看，量子X门对于{ $|+\rangle, |-\rangle$ }没有影响，对于{ $|i\rangle, |-i\rangle$ }也是取“反”（也称比特翻转）的效果。这个事实上就是布洛赫球面所带来的好处之一例。

2.2 量子Z门

量子Z门对应于泡利矩阵 $\sigma_z = \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{bmatrix}$ ，类似地，不难猜测到从布洛赫球面上看，Z门会让球面上的点绕z轴旋转180度。同样地，基于布洛赫球面的几何性质可以知道，量子Z门对于{ $|0\rangle, |1\rangle$ }没有影响，对于 { $|+\rangle, |-\rangle$ }和{ $|i\rangle, |-i\rangle$ }则是取“反”的效果。

对于一般的量子态 $|\psi\rangle = r_0 |0\rangle + r_1 e^{i\theta}|1\rangle$ ，有：

$\sigma_z |\psi\rangle = \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} r_0\\ r_1 e^{i\theta} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} r_0\\ -r_1 e^{i\theta} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} r_0\\ r_1 e^{i(\pi + \theta)} \end{bmatrix}$

可以看到，量子Z门作用于一般的量子态的效果是使得相对相位发生的相位翻转（注意，布洛赫球面上位于相同维度的点所差的就是相对相位），所以量子Z门也称为相位翻转门（phase flip gate）。此外，因为它使得第2个基态的幅度的符号发生翻转，所以也被称为符号翻转门（sign flip gate）。

【问题3】Z门对应的 $\mathbb{R}^3$ 笛卡尔坐标系中的旋转矩阵是怎样的呢？

2.3 量子Y门

量子Y门对应于泡利矩阵 $\sigma_y$ ，类似地，不难猜测到从布洛赫球面上看，Y门会让球面上的点绕y轴旋转180度。同样地，基于布洛赫球面的几何性质可以知道，量子Y门对于{ $|i\rangle, |-i\rangle$ }没有影响，对于 { $|+\rangle, |-\rangle$ }和{ $|0\rangle, |1\rangle$ }则是取“反”的效果。

对于一般的量子态 $|\psi\rangle = r_0 |0\rangle + r_1 e^{i\theta}|1\rangle$ ，有：

$\sigma_y |\psi\rangle = \begin{bmatrix} 0 & -i\\ i & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a\\ b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -ib\\ ia \end{bmatrix} = e^{i\frac{3\pi}{2}}(b|0\rangle - a|1\rangle) \cong b|0\rangle - a|1\rangle$

最后的 $\cong$ 是表示忽略全局相位后的等价于。

前两节在X门和Z门的描述中提到X门和Z门的效果分别是比特翻转（交换两个基态的概率幅度）和相位翻转（翻转第二个概率幅度的符号），而上式则表明Y门的作用效果是同时执行比特翻转和相位翻转。

【问题4】Y门对应的 $\mathbb{R}^3$ 笛卡尔坐标系中的旋转矩阵是怎样的呢？

2.4 量子ID门

量子ID（Identity，以为恒等）门对应于单位矩阵或者说泡利矩阵 $\sigma_0$ 。

说白了，就是啥也不做。

其主要使用场景是构建和绘制线路，从而让我们知道每个步骤中各个量子比特的情况；或者用于指示暂停或延迟的位置，让研究者可以完成一些其它任务，比如计算量子比特的退相干的度量值。

6. 量子H门

Hadamard门（阿达马门，哈达马门）是最重要的仅作用于一个量子比特的量子门。它所对应的矩阵为：

$\bold{H} = \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}\\ \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix}$

简单计算可以得到H门作用域计算基底向量 $|0\rangle, |1\rangle$ 的效果如下：

$\bold{H}|0\rangle = \frac{1}{\sqrt(2)}(|0\rangle + |1\rangle)$

$\bold{H}|1\rangle = \frac{1}{\sqrt(2)}(|0\rangle - |1\rangle)$

它将两个基向量变换成了两个等概率叠加态。H门在量子电路中的作用就是用于创建叠加态，它通常用在量子电路的最前端。

从布洛赫球面上来看，H门的效果是使得布洛赫球面上的点绕Z轴与X轴之间的倾斜45度的轴旋转180度。

实际上，所有的单量子比特门都对应着布洛赫球面上的旋转操作。

除了以上介绍的X、Y、Z、H门等旋转180度的量子门以外，还可以创建出任意角度的量子门。

可以说，量子运算就是布洛赫球面上的旋转操作的组合！

【问题5】H门对应的 $\mathbb{R}^3$ 笛卡尔坐标系中的旋转矩阵是怎样的呢？

7. 量子Z旋转门

量子 $R_{\phi}^Z$ 门（csdn编辑器不允许标题中出现这种公式，所以标题中写成我杜撰的Z旋转门），它可以看作是量子Z门的扩展：Z门是绕Z轴旋转180度， $R_{\phi}^Z$ 将旋转角度扩展为任意角度。换句话说Z门是 $R_{\phi}^Z$ 的特殊情况。

如前所述，Z门的矩阵为泡利矩阵 $\sigma_z = \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & e^{j\pi} \end{bmatrix}$ ，由于 $R_{\phi}^Z$ 是旋转角度由 $\pi$ 向任意角度 $\phi$ 的扩展，所以很自然地可以想到 $R_{\phi}^Z$ 门的矩阵如下所示：

$R_{\phi}^Z=\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & e^{j\phi} \end{bmatrix}$

$R_{\phi}^Z$ 矩阵还有另外一种形式，通过对泡利Z矩阵取幂（参见本文第12节）而得，如下所示：

$R_{\phi}^Z = e^{-\frac{\phi Z}{2}} = \begin{bmatrix} e^{-\frac{i\phi }{2}} & 0\\ 0 & e^{\frac{i\phi }{2}} \end{bmatrix} =cos(\frac{\phi}{2})\bold{I}_2 - sin(\frac{\phi}{2}) i \sigma_z$

【问题6】 $R_{\phi}^Z$ 门的3x3的旋转矩阵是怎样的？Z门的呢？

7.1 量子S门

与Z门一样，S门也是 $R_{\phi}^Z$ 的一种特殊情况，对应于 $\phi=\frac{\pi}{2}$ 的情况。即：

$S = R_{\frac{\pi}{2}}^Z = \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & e^{\frac{\pi i}{2}} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & i \end{bmatrix}$

7.2 量子S.H门

量子 $S^{\dagger}$ 门是 $R_{\phi}^Z$ 在 $\phi = -\frac{\pi}{2}$ 时的特殊情况。

7.3 量子T门

量子T门是 $R_{\phi}^Z$ 在 $\phi = \frac{\pi}{4}$ 时的特殊情况。

7.4 量子T.H门

量子 $T^{\dagger}$ 门是 $R_{\phi}^Z$ 在 $\phi = -\frac{\pi}{4}$ 时的特殊情况。

【问题7】 $S, S^{\dagger}, T, T^{\dagger}$ 的四种Z旋转门的3x3的旋转矩阵分别是怎样的？

8. 量子X旋转门

顾名思义，量子X旋转门是量子X门的从绕X轴旋转180度向绕X轴旋转任意度的扩展，记为 $R_{\phi}^X$ 门。

与 $R_{\phi}^Z$ 一样， $R_{\phi}^X$ 也可以从泡利X矩阵的指数求得，如下所示：

$R_{\phi}^X = e^{-\frac{\phi X}{2}} = \begin{bmatrix} cos(\frac{\phi }{2}) & -i sin(\frac{\phi }{2})\\ -i sin(\frac{\phi }{2}) & cos(\frac{\phi }{2}) \end{bmatrix} =cos(\frac{\phi}{2})\bold{I}_2 - sin(\frac{\phi}{2}) i \sigma_x$

9. 量子Y旋转门

量子Y旋转门是量子Y门的从绕Y轴旋转180度向绕X轴旋转任意度的扩展，记为 $R_{\phi}^Y$ 门。

与 $R_{\phi}^Z$ 、 $R_{\phi}^X$ 一样， $R_{\phi}^Y$ 也可以从泡利Y矩阵的指数求得，如下所示：

$R_{\phi}^Y = e^{-\frac{\phi Y}{2}} = \begin{bmatrix} cos(\frac{\phi }{2}) & - sin(\frac{\phi }{2})\\ sin(\frac{\phi }{2}) & cos(\frac{\phi }{2}) \end{bmatrix} =cos(\frac{\phi}{2})\bold{I}_2 - sin(\frac{\phi}{2}) i \sigma_y$

如上所述，可以注意到，基于泡利矩阵的指数生成各X、Y、Z旋转门的方式统一，最后生成的矩阵表达式也具有相同的结构，为了方便对比，一并再重写于下面：

$R_{\phi}^Z = e^{-\frac{\phi Z}{2}} = \begin{bmatrix} e^{-\frac{i\phi }{2}} & 0\\ 0 & e^{\frac{i\phi }{2}} \end{bmatrix} =cos(\frac{\phi}{2})\bold{I}_2 - sin(\frac{\phi}{2}) i \sigma_z$

10. 量子sqrt(NOT)门

11. 量子RESET操作

12. 泡利矩阵的指数

如果矩阵A满足 $A^2 = I$ ，则有： $exp(iAx) = cos(x) I + i \cdot sin(x) \cdot A$ .

证明：

指数函数exp(x)有如下级数展开形式：

$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + ... = \sum\limits_{k} \frac{x^k}{k!}$

代入（iAx）可以得到：

$\begin{align} e^{iAx} &= I + iAx + \frac{(iAx)^2}{2!} + \frac{(iAx)^3}{3!} + ... = \sum\limits_{i} \frac{(iAx)^i}{i!} \\ &= I \cdot (1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots ) + i\cdot A \cdot (\frac{x}{1!} - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!}+...) \\ &= I cos(x) + i\cdot A\cdot sin(x) \end{align}$

分别代入 $A = \sigma_x, \sigma_y, \sigma_z$ 可得：

$e^{i\sigma_x \theta} = \begin{bmatrix} cos(\theta) & isin(\theta)\\ isin(\theta) & cos(\theta) \end{bmatrix}$

$e^{i\sigma_y \theta} = \begin{bmatrix} cos(\theta) & sin(\theta)\\ -sin(\theta) & cos(\theta) \end{bmatrix}$

$e^{i\sigma_z \theta} = \begin{bmatrix} cos(\theta)+isin(\theta) & 0\\ 0 & cos(\theta) - isin(\theta)\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} e^{i\phi} & 0\\ 0 & e^{-i\phi}\end{bmatrix}$