能带图最好的理解——克朗尼格-朋奈模型（Kronig-Penney模型）

article/2025/6/10 16:16:09

布洛赫波函数

整体的思想还是基于建模，大家应该都知道在自由电子模型中，能量和波矢的关系

那么大家的第一个疑问首先是，空间结构的周期性应该反应在空间坐标上，为什么K空间也会满足周期性呢？

这里面就不得不说，K空间的建立，着实是精彩：

它将平常大家所理解的三维空间和波矢空间（倒空间完美的结合在了一起），并且其满足一一对应的关系，因此三维空间中存在周期性，倒空间也必然存在周期性，倒空间可以看作是三维空间的一个等价描述（大家可以试着抛弃原先狭隘的时空观念）

其次第二个困惑是，我们如何建立关于周期性的条件，来约束电子的运动呢？并且还要完美的符合之前布拉格衍射的条件？

这里就要感谢布洛赫所做的工作：

布洛赫定理———对于考虑周期性势场的薛定谔方程，其解必定具有如下的特殊形式

$\small \psi_{\vec k}(\vec r)=\mu_{\vec k}(\vec r)e^{i\vec k \cdot \vec r}$ ，这就是布洛赫波函数

其中 $\small \mu_{k}(r)$ 是具有晶体点阵的周期，即 $\small \mu_{\vec k}(\vec r)=\mu_{\vec k}(\vec r)(\vec r+\vec T)$

由此我们周期性条件的方程就建立完成了

关于布洛赫函数，其中有三个需要记住的点：

1. 下标K指明函数 $\small \mu_{k}(r)$ 依赖于波矢k

2. 布洛赫函数可以由行波组成，他们叠加后可以成为波包，从而表示在离子实势场中自由传播的电子

3. k的值出现在晶体中电子碰撞过程的守恒定律之中，因此 $\small \hbar \vec k$ 称为电子的晶体动量

克朗尼格-朋奈模型

一维周期性方阱势场 $\small U(x)$ 是势能， $\small \varepsilon$ 是能量本征值

$\small -\frac{\hbar^2}{2m_{e}}\frac{d^2 \psi}{dx^2}+U(x)\psi=\varepsilon \psi$

其中势场满足这个条件 $\small U(x)=0,(0<x<a),U(x)=U_0(a<x<a+b)$

因为正电荷吸引负电荷所造成的势场，相当于是向下掉，但是这样不好求解，我们做一个等价变换，把下面的陷阱翻上来，变成一个正值，所以 $\small -U_{0}>0$ ,我们等于把势阱问题变成了势垒的问题，每一个势垒就是离子实所在的位置

我们可以列出通解方程

$\small \psi(x)=Ae^{iKx}+Be^{-iKx}(0<x<a)$

$\small \psi(x)=Ce^{Qx}+De^{-Qx}(a<x<a+b)$

为了解这个方程，我们需要边界条件

1.连续性条件， $\small -\psi$ 和 $\small \frac{d\psi}{dx}$ 在 $\small x=0,x=a$ 处连续

2. 由布洛赫定义知道 $\small -\psi$ 和 $\small \frac{d\psi}{dx}$ 在 $\small x=a$ 处的值等于 $\small -b$ 处的值，但超前一个位相因子 $\small exp[ik(a+b)]$

所以四个条件往里面一带，我们就可以求出来

$\small \varepsilon=\frac{\hbar^2K^2}{2m}(0<x<a)$

$\small \varepsilon=U_{0}-\frac{\hbar^2Q^2}{2m}(a<x<a+b)$

因此我们就得出了能量的解的形式

如果方程要有解我们，根据行列式不为0这个条件，我们还可以列出

$\small [(Q^2-K^2)/2QK]sinhQbsinKa+coshQbcosKa=cosk(a+b)$

只有上述关系式满足的时候，方程组才有解

为了简化结果，取 $\small b=0,U_0=\infty$ 的极限，同时保持 $\small \frac{Q^2ba}{2}=P$ 为一个有限量，约化后的关系式为

$\small (\frac{P}{Ka})sin(Ka)+cos(Ka)=coska$ ，只要这个方程满足，A,B,C,D一定有解

K是待定系数里的，k是布洛赫波函数里的真实波矢

能隙的出现

我们以等式的左右两边为函数，分别画图，可以得到

右边的函数的范围 $\small -1 \sim 1$ ，在正负一，约束范围之内的，才是问题的解，对这些交界的地方我们进行分析，大家要时刻记住能量是和K有关系的（我们之前已经解出来了） $\small \varepsilon=\frac{\hbar^2K^2}{2m}$ ，所以我们就看到当 $\small coska$ 从 $\small -1 -> 1$ 变化的时候，也就是 $\small ka$ 从 $\small 0->\pi$ 变化，从这个曲线交叠上，我们发现， $\small Ka$ 的横坐标逐渐增加，增加多少，增加一点点，所以平方增加一点点