向量空间表示为 ${\mathbf{R}}^1,{\mathbf{R}}^2,{\mathbf{R}}^3,{\mathbf{R}}^4,...,{\mathbf{R}}^{\mathbf{n}}$ 。 ${\mathbf{R}}^{\mathbf{n}}$ 表示 $n$ 维向量集合所组成的空间，称为二维向量空间。但是，并不是所有集合组成的空间都能称作向量空间，必须满足以下 2 个条件

1. 集合中的两个向量相加，所得的新向量依然在这个集合内。
2. 集合中的任一向量与一标量相乘，所得的新向量依然在这个集合内。

举两个例子（ from mit公开课18.06 ）

整个二维平面是否为二维向量空间呢？
不难得出，整个二维平面的向量无论是互相相加还是乘以一个标量，所得的新向量都在二维平面上。

二维平面的第一象限是否为向量空间呢？

第一象限很好的符合了条件 1 。对于条件 2 ，当所称标量为负数时，第一象限的向量转移至第三象限。所以，二维平面的第一象限不是向量空间。