超越函数e^(-x^2)在(-∞, +∞)上的定积分的两种解法

article/2025/10/12 7:23:07

令I = \int_{-\infty }^{+\infty }e^{-x^{2}}dx

解法一 二重积分+极坐标

I^{2} = \int_{-\infty }^{+\infty }e^{-x^{2}}dx\int_{-\infty }^{+\infty }e^{-y^{2}}dy

      = \iint e^{-(x^{2}+y^{2})}dxdy

      = \iint e^{-r^{2}}rdrd\theta

      \dpi{120} = \int_{0}^{2\pi} d\theta \int_{0 }^{+\infty} e^{-r^{2}}rdr

      = \theta \mid_{0}^{2\pi} \cdot (-\frac{1}{2}e^{-r^{2}}\mid_{0 }^{+\infty })

      = 2\pi\cdot \frac{1}{2}

      = \pi

故I = \sqrt{\pi}

 

解法二 Γ函数+余元公式

I = \int_{-\infty }^{+\infty }e^{-x^{2}}dx

    \dpi{120} = 2\int_{0}^{+\infty }e^{-t}\frac{1}{2}t^{-\frac{1}{2}}dt

    = \int_{0}^{+\infty }e^{-t}t^{-\frac{1}{2}}dt

    = \Gamma (\frac{1}{2})

又由余元公式，有

\Gamma (s)\Gamma (1-s) = \frac{\pi }{sin\pi s} (0< s < 1)

于是

\dpi{120} I^{2}=\frac{\pi}{sin\frac{\pi}{2}} =\pi

故I = \sqrt{\pi}


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