Trie前缀树

简介

Trie (发音为 "try") 又经常叫前缀树，字典树等等，是一种树数据结构，用于检索字符串数据集中的键。

在计算机科学中，trie是一种有序树，用于保存关联数组，其中的键通常是字符串。与二叉查找树不同，键不是直接保存在节点中，而是由节点在树中的位置决定。一个节点的所有子孙都有相同的前缀，也就是这个节点对应的字符串，而根节点对应空字符串。一般情况下，不是所有的节点都有对应的值，只有叶子节点和部分内部节点所对应的键才有相关的值。

trie中的键通常是字符串，但也可以是其它的结构。trie的算法可以很容易地修改为处理其它结构的有序序列，比如一串数字或者形状的排列。比如，bitwise trie中的键是一串位元，可以用于表示整数或者内存地址

这一高效的数据结构有多种应用：

（1）自动补全

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（2）拼写检查

（3）IP 路由 (最长前缀匹配)

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（4）T9 (九宫格) 打字预测

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（5）单词游戏

还有其他的数据结构，如平衡树和哈希表，使我们能够在字符串数据集中搜索单词。为什么我们还需要 Trie 树呢？尽管哈希表可以在 O(1)O(1) 时间内寻找键值，却无法高效的完成以下操作：

找到具有同一前缀的全部键值。
按词典序枚举字符串的数据集。

Trie 树优于哈希表的另一个理由是，随着哈希表大小增加，会出现大量的冲突，时间复杂度可能增加到 O(n)，其中 n 是插入的键的数量。与哈希表相比，Trie 树在存储多个具有相同前缀的键时可以使用较少的空间。此时 Trie 树只需要O(m) 的时间复杂度，其中 m 为键长。而在平衡树中查找键值需要O(mlogn) 时间复杂度。

Trie 树的结点结构

Trie 树是一个有根的树，其结点具有以下字段：

最多 RR个指向子结点的链接，其中每个链接对应字母表数据集中的一个字母。
本文中假定 RR为 26，小写拉丁字母的数量。
布尔字段，以指定节点是对应键的结尾还是只是键前缀。

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前缀树结点的代码实现：

class TrieNode {// R links to node childrenprivate TrieNode[] links;private final int R = 26;private boolean isEnd;public TrieNode() {links = new TrieNode[R];}public boolean containsKey(char ch) {return links[ch -'a'] != null;}public TrieNode get(char ch) {return links[ch -'a'];}public void put(char ch, TrieNode node) {links[ch -'a'] = node;}public void setEnd() {isEnd = true;}public boolean isEnd() {return isEnd;}
}

Trie 树的增改查

向 Trie 树中插入键

我们通过搜索 Trie 树来插入一个键。我们从根开始搜索它对应于第一个键字符的链接。有两种情况：

链接存在。沿着链接移动到树的下一个子层。算法继续搜索下一个键字符。
链接不存在。创建一个新的节点，并将它与父节点的链接相连，该链接与当前的键字符相匹配。

重复以上步骤，直到到达键的最后一个字符，然后将当前节点标记为结束节点，算法完成。

代码实现：

class Trie {private TrieNode root;public Trie() {root = new TrieNode();}// Inserts a word into the trie.public void insert(String word) {TrieNode node = root;for (int i = 0; i < word.length(); i++) {char currentChar = word.charAt(i);if (!node.containsKey(currentChar)) {node.put(currentChar, new TrieNode());}node = node.get(currentChar);}node.setEnd();}
}

复杂度分析：

时间复杂度：O(m)，其中 m 为键长。在算法的每次迭代中，我们要么检查要么创建一个节点，直到到达键尾。只需要 m次操作。

空间复杂度：O(m)。最坏的情况下，新插入的键和 Trie 树中已有的键没有公共前缀。此时需要添加 m 个结点，使用 O(m) 空间。

在 Trie 树中查找键

每个键在 trie 中表示为从根到内部节点或叶的路径。我们用第一个键字符从根开始。检查当前节点中与键字符对应的链接。有两种情况：

存在链接。我们移动到该链接后面路径中的下一个节点，并继续搜索下一个键字符。
不存在链接。若已无键字符，且当前结点标记为 isEnd，则返回 true。否则有两种可能，均返回 false :a.还有键字符剩余，但无法跟随 Trie 树的键路径，找不到键；b.没有键字符剩余，但当前结点没有标记为 isEnd。也就是说，待查找键只是Trie树中另一个键的前缀。

代码实现：

class Trie {...// search a prefix or whole key in trie and// returns the node where search endsprivate TrieNode searchPrefix(String word) {TrieNode node = root;for (int i = 0; i < word.length(); i++) {char curLetter = word.charAt(i);if (node.containsKey(curLetter)) {node = node.get(curLetter);} else {return null;}}return node;}// Returns if the word is in the trie.public boolean search(String word) {TrieNode node = searchPrefix(word);return node != null && node.isEnd();}
}

查找 Trie 树中的键前缀

该方法与在 Trie 树中搜索键时使用的方法非常相似。我们从根遍历 Trie 树，直到键前缀中没有字符，或者无法用当前的键字符继续 Trie 中的路径。与上面提到的“搜索键”算法唯一的区别是，到达键前缀的末尾时，总是返回 true。我们不需要考虑当前 Trie 节点是否用 “isend” 标记，因为我们搜索的是键的前缀，而不是整个键。

代码实现：

class Trie {...// Returns if there is any word in the trie// that starts with the given prefix.public boolean startsWith(String prefix) {TrieNode node = searchPrefix(prefix);return node != null;}
}

复杂度分析：