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Bezier曲线原理及实现代码（c++）
一、原理：
贝塞尔曲线于1962年，由法国工程师皮埃尔·贝塞尔（Pierre Bézier）所广泛发表，他运用贝塞尔曲线来为汽车的主体进行设计。贝塞尔曲线最初由 Paul de Casteljau 于1959年运用 de Casteljau 算法开发，以稳定数值的方法求出贝塞尔曲线。
线性贝塞尔曲线
给定点 P0、P1，线性贝塞尔曲线只是一条两点之间的直线。这条线由下式给出：
![mathbf{B}(t)=mathbf{P}_0 + (mathbf{P}_1-mathbf{P}_0)t=(1-t)mathbf{P}_0 + tmathbf{P}_1 mbox{ , } t in [0,1]](http://devres.zoomquiet.io/data/20110728232822/05c4210c69ffb1358ceb8eb83a1a06fe.png "Bezier曲线原理及实现代码（c++） - mappy - mappy 天下")
且其等同于线性插值。
二次方贝塞尔曲线的路径由给定点 P0、P1、P2 的函数 B(t) 追踪：
-
![mathbf{B}(t) = (1 - t)^{2}mathbf{P}_0 + 2t(1 - t)mathbf{P}_1 + t^{2}mathbf{P}_2 mbox{ , } t in [0,1]](http://devres.zoomquiet.io/data/20110728232822/8adc5cc34ea9649d6e546043fce9c407.png)
。
TrueType 字型就运用了以贝塞尔样条组成的二次贝塞尔曲线。
P0、P1、P2、P3 四个点在平面或在三维空间中定义了三次方贝塞尔曲线。曲线起始于 P0 走向 P1，并从 P2 的方向来到 P3。一般不会经过 P1 或 P2；这两个点只是在那里提供方向资讯。 P0 和 P1 之间的间距，决定了曲线在转而趋进P3 之前，走向 P2 方向的“长度有多长”。
曲线的参数形式为：
-
![mathbf{B}(t)=mathbf{P}_0(1-t)^3+3mathbf{P}_1t(1-t)^2+3mathbf{P}_2t^2(1-t)+mathbf{P}_3t^3 mbox{ , } t in [0,1]](http://devres.zoomquiet.io/data/20110728232822/597ecc5022fa7ab65509d5edfa9c148c.png)
。
现代的成象系统，如 PostScript、Asymptote 和 Metafont，运用了以贝塞尔样条组成的三次贝塞尔曲线，用来描绘曲线轮廓。
一般化
P0、P1、…、Pn，其贝塞尔曲线即
-
![mathbf{B}(t)=sum_{i=0}^n {nchoose i}mathbf{P}_i(1-t)^{n-i}t^i =mathbf{P}_0(1-t)^n+{nchoose 1}mathbf{P}_1(1-t)^{n-1}t+cdots+mathbf{P}_nt^n mbox{ , } t in [0,1]](http://devres.zoomquiet.io/data/20110728232822/5cdbbad5d4698c786a3f02a1b9fb5f2d.png)
。
例如 ：
-
![mathbf{B}(t)=mathbf{P}_0(1-t)^5+5mathbf{P}_1t(1-t)^4+10mathbf{P}_2t^2(1-t)^3+10mathbf{P}_3t^3(1-t)^2+5mathbf{P}_4t^4(1-t)+mathbf{P}_5t^5 mbox{ , } t in [0,1]](http://devres.zoomquiet.io/data/20110728232822/db41ef611ab1eedb0606d9bce9012c30.png)
。
如上公式可如下递归表达： 用 
表示由点 P0、P1、…、Pn 所决定的贝塞尔曲线。则
用平常话来说， 阶贝塞尔曲线之间的插值。
一些关于参数曲线的术语，有
![mathbf{B}(t) = sum_{i=0}^n mathbf{P}_imathbf{b}_{i,n}(t),quad tin[0,1]](http://devres.zoomquiet.io/data/20110728232822/3d8f42d9608ecbd44e2f57758d159eb2.png)
即多项式
又称作 n 阶的伯恩斯坦基底多项式，定义 00 = 1。
点 Pi 称作贝塞尔曲线的控制点。多边形以带有线的贝塞尔点连接而成，起始于 P0 并以 Pn 终止，称作贝塞尔多边形（或控制多边形）。贝塞尔多边形的凸包（convex hull）包含有贝塞尔曲线。
线性贝塞尔曲线函数中的 t 会经过由 P0 至P1 的 B(t) 所描述的曲线。例如当 t=0.25 时，B(t) 即一条由点 P0 至 P1 路径的四分之一处。就像由 0 至 1 的连续 t，B(t) 描述一条由 P0 至 P1 的直线。
![线性贝塞尔曲线演示动画，t in [0,1]](http://zh.wikipedia.org/wiki/File:Bezier_1_big.gif "Bezier曲线原理及实现代码（c++） - mappy - mappy 天下")
为建构二次贝塞尔曲线，可以中介点 Q0 和 Q1 作为由 0 至 1 的 t：
- 由 P0 至 P1 的连续点 Q0，描述一条线性贝塞尔曲线。
- 由 P1 至 P2 的连续点 Q1，描述一条线性贝塞尔曲线。
- 由 Q0 至 Q1 的连续点 B(t)，描述一条二次贝塞尔曲线。
 | ![二次贝塞尔曲线演示动画，t in [0,1]](http://devres.zoomquiet.io/data/20110728232822/bezier_2_big.gif "Bezier曲线原理及实现代码（c++） - mappy - mappy 天下") | |
为建构高阶曲线，便需要相应更多的中介点。对于三次曲线，可由线性贝塞尔曲线描述的中介点 Q0、Q1、Q2，和由二次曲线描述的点 R0、R1 所建构：
 | ![三次贝塞尔曲线演示动画，t in [0,1]](http://devres.zoomquiet.io/data/20110728232822/bezier_3_big.gif "Bezier曲线原理及实现代码（c++） - mappy - mappy 天下") | |
对于四次曲线，可由线性贝塞尔曲线描述的中介点 Q0、Q1、Q2、Q3，由二次贝塞尔曲线描述的点 R0、R1、R2，和由三次贝塞尔曲线描述的点 S0、S1 所建构：
 | ![四次贝塞尔曲线演示动画，t in [0,1]](http://devres.zoomquiet.io/data/20110728232822/bezier_4_big.gif "Bezier曲线原理及实现代码（c++） - mappy - mappy 天下") | |
P(t)=(1-t)P0+tP1 , 
。
矩阵表示为：
，
。
P(t)=(1-t)2P0+2t(1-t)P1+t2P2, 。
矩阵表示为：
， 。
P(t)=(1-t)3P0+3t(1-t)2P1+3t2(1-t)P2+t3P3
矩阵表示为：
， 。
（6－3－2）
， 。
在（6－3－2）式中，Mn+1是一个n＋1阶矩阵，称为n次Bezier矩阵。
（6－3－3）
。
其中，
利用（6－3－3）式，我们可以得到任意次Bezier矩阵的显式表示，例如4次和5次Bezier矩阵为：
，
可以证明，n次Bezier矩阵还可以表示为递推的形式：
（6－3－4）
二、算法（c++）
工程目录是:Win32App
vc6.0
#include<windows.h>
#include<stdlib.h>
#include<time.h>
#define NUM 10
LRESULT CALLBACK Winproc(HWND,UINT,WPARAM,LPARAM);
int WINAPI WinMain(HINSTANCE hInstance,HINSTANCE hPrevInstanc,LPSTR lpCmdLine,int nShowCmd)
{
MSG msg;
static TCHAR szClassName[] = TEXT("::Bezier样条计算公式由法国雷诺汽车公司的工程师Pierm Bezier于六十年代提出");
HWND hwnd;
WNDCLASS wc;
wc.cbClsExtra =0;
wc.cbWndExtra =0;
wc.hbrBackground = (HBRUSH)GetStockObject(WHITE_BRUSH);
wc.hCursor = LoadCursor(NULL,IDC_ARROW);
wc.hIcon = LoadIcon(NULL,IDI_APPLICATION);
wc.hInstance = hInstance;
wc.lpfnWndProc = Winproc;
wc.lpszClassName = szClassName;
wc.lpszMenuName = NULL;
wc.style = CS_HREDRAW|CS_VREDRAW;
if(!RegisterClass(&wc))
{
MessageBox(NULL,TEXT("注册失败"),TEXT("警告框"),MB_ICONERROR);
return 0;
}
hwnd = CreateWindow(szClassName,szClassName,
WS_OVERLAPPEDWINDOW,
CW_USEDEFAULT,CW_USEDEFAULT,
CW_USEDEFAULT,CW_USEDEFAULT,
NULL,NULL,hInstance,NULL);
ShowWindow(hwnd,SW_SHOWMAXIMIZED);
UpdateWindow(hwnd);
while(GetMessage(&msg,NULL,0,0))
{
TranslateMessage(&msg);
DispatchMessage(&msg);
}
return msg.wParam;
}
LRESULT CALLBACK Winproc(HWND hwnd,UINT message, WPARAM wparam,LPARAM lparam)
{
HDC hdc;
static POINT pt[NUM];
TEXTMETRIC tm;
static int cxClient,cyClient;
HPEN hpen;
int i,j,k,n,t;
switch(message)
{
case WM_CREATE:
static int cxchar;
hdc = GetDC(hwnd);
GetTextMetrics(hdc,&tm);
cxchar = tm.tmAveCharWidth;
ReleaseDC(hwnd,hdc);
case WM_SIZE:
cxClient = LOWORD(lparam);
cyClient = HIWORD(lparam);
return 0;
case WM_PAINT:
hdc = GetDC(hwnd);
srand(time(0));
Rectangle(hdc,0,0,cxClient,cyClient);
for(i=0; i<500; i++)
{
SelectObject(hdc,GetStockObject(WHITE_PEN));
PolyBezier(hdc,pt,NUM);
for(j=0; j<NUM; j++)
{
pt[j].x = rand()%cxClient;
pt[j].y = rand()%cyClient;
}
hpen = CreatePen(PS_INSIDEFRAME,3,RGB(rand()%256,rand()%256,rand()%256));
DeleteObject(SelectObject(hdc,hpen));
PolyBezier(hdc,pt,NUM);
for(k=0; k<50000000;k++);
}
for(i=0; i<100;i++)
{
Ellipse(hdc,rand()%cxClient,rand()%cyClient,rand()%cxClient,rand()%cyClient);
Pie(hdc,j=rand()%cxClient,k=rand()%cyClient,n=rand()%cxClient,t=rand()%cyClient,rand()%cxClient,rand()%cyClient,rand()%cxClient,rand()%cyClient) ;
}
if((n=(n+j)/2)>cxchar*20) n=cxchar*20;
SetTextColor(hdc,RGB(rand()%256,rand()%256,rand()%256));
TextOut(hdc,n/2,(t+k)/2,TEXT("瑾以此向Pierm Bezier致敬!"),lstrlen(TEXT("瑾以此向Pierm Bezier致敬!")));
ReleaseDC(hwnd,hdc);
DeleteObject(hpen);
ValidateRect(hwnd,NULL);
return 0;
case WM_DESTROY:
PostQuitMessage(0);
return 0;
}
return DefWindowProc(hwnd,message,wparam,lparam);
}
