Bezier曲线原理及实现代码（c++）

       一、原理：

       贝塞尔曲线于1962年，由法国工程师皮埃尔?贝塞尔（Pierre B?zier）所广泛发表，他运用贝塞尔曲线来为汽车的主体进行设计。贝塞尔曲线最初由 Paul de Casteljau 于1959年运用de Casteljau 算法开发，以稳定数值的方法求出贝塞尔曲线。

线性贝塞尔曲线

给定点 P0、P1，线性贝塞尔曲线只是一条两点之间的直线。这条线由下式给出：

 

且其等同于线性插值。

 

二次方贝塞尔曲线的路径由给定点 P0、P1、P2 的函数 B(t) 追踪：

。

TrueType 字型就运用了以贝塞尔样条组成的二次贝塞尔曲线。

 

P0、P1、P2、P3 四个点在平面或在三维空间中定义了三次方贝塞尔曲线。曲线起始于 P0 走向 P1，并从 P2 的方向来到 P3。一般不会经过 P1 或 P2；这两个点只是在那里提供方向资讯。 P0 和 P1 之间的间距，决定了曲线在转而趋进 P3 之前，走向 P2 方向的“长度有多长”。

曲线的参数形式为：

。

现代的成象系统，如 PostScript、Asymptote 和 Metafont，运用了以贝塞尔样条组成的三次贝塞尔曲线，用来描绘曲线轮廓。

 

一般化

 

 

 

 

P0、P1、…、Pn，其贝塞尔曲线即

。

例如 ：

。

如上公式可如下递归表达： 用 
 表示由点 P0、P1、…、Pn 所决定的贝塞尔曲线。则

用平常话来说， 阶贝塞尔曲线之间的插值。

 

一些关于参数曲线的术语，有

 

即多项式

又称作 n 阶的伯恩斯坦基底多项式，定义 00 = 1。

点 Pi 称作贝塞尔曲线的控制点。多边形以带有线的贝塞尔点连接而成，起始于 P0 并以 Pn 终止，称作贝塞尔多边形（或控制多边形）。贝塞尔多边形的凸包（convex hull）包含有贝塞尔曲线。

 

 

 

 

 

线性贝塞尔曲线函数中的 t 会经过由 P0 至P1 的 B(t) 所描述的曲线。例如当 t=0.25 时，B(t) 即一条由点 P0 至 P1 路径的四分之一处。就像由 0 至 1 的连续t，B(t) 描述一条由 P0 至 P1 的直线。

 

为建构二次贝塞尔曲线，可以中介点 Q0 和 Q1 作为由 0 至 1 的 t：

由 P0 至 P1 的连续点 Q0，描述一条线性贝塞尔曲线。由 P1 至 P2 的连续点 Q1，描述一条线性贝塞尔曲线。由 Q0 至 Q1 的连续点 B(t)，描述一条二次贝塞尔曲线。 

 

为建构高阶曲线，便需要相应更多的中介点。对于三次曲线，可由线性贝塞尔曲线描述的中介点 Q0、Q1、Q2，和由二次曲线描述的点 R0、R1 所建构：

 

对于四次曲线，可由线性贝塞尔曲线描述的中介点 Q0、Q1、Q2、Q3，由二次贝塞尔曲线描述的点 R0、R1、R2，和由三次贝塞尔曲线描述的点 S0、S1 所建构：

 

P(t)=(1-t)P0+tP1 , 。
矩阵表示为：
　　， 。
P(t)=(1-t)2P0+2t(1-t)*P1+t2P2, 。
矩阵表示为：
　　， 。

 

P(t)=(1-t)3P0+3t(1-t)2P1+3t2(1-t)P2+t3P3 
矩阵表示为：
， 。
（6－3－2） 
， 。 
在（6－3－2）式中，Mn+1是一个n＋1阶矩阵，称为n次Bezier矩阵。
 （6－3－3）
。
其中，

利用（6－3－3）式，我们可以得到任意次Bezier矩阵的显式表示，例如4次和5次Bezier矩阵为：
，
 
可以证明，n次Bezier矩阵还可以表示为递推的形式：
 （6－3－4）
 

二、算法（c++）

工程目录是:Win32App 
vc6.0
 

#include<windows.h> 
#include<stdlib.h> 
#include<time.h> 
#define NUM 10 
 
LRESULT CALLBACK Winproc(HWND, UINT, WPARAM, LPARAM); 
int WINAPI WinMain(HINSTANCE hInstance, HINSTANCE hPrevInstanc, LPSTR lpCmdLine, int nShowCmd) 
{ 
    MSG msg; 
    static TCHAR szClassName[] = TEXT("::Bezier样条计算公式由法国雷诺汽车公司的工程师Pierm Bezier于六十年代提出"); 
    HWND hwnd; 
    WNDCLASS wc; 
    wc.cbClsExtra = 0; 
    wc.cbWndExtra = 0; 
    wc.hbrBackground = (HBRUSH)GetStockObject(WHITE_BRUSH); 
    wc.hCursor = LoadCursor(NULL, IDC_ARROW); 
    wc.hIcon = LoadIcon(NULL, IDI_APPLICATION); 
    wc.hInstance = hInstance; 
    wc.lpfnWndProc = Winproc; 
    wc.lpszClassName = szClassName; 
    wc.lpszMenuName = NULL; 
    wc.style = CS_HREDRAW | CS_VREDRAW; 
 
    if(!RegisterClass(&wc)) 
    { 
        MessageBox(NULL, TEXT("注册失败"), TEXT("警告框"), MB_ICONERROR); 
        return 0; 
    } 
    hwnd = CreateWindow(szClassName, szClassName, 
                        WS_OVERLAPPEDWINDOW, 
                        CW_USEDEFAULT, CW_USEDEFAULT, 
                        CW_USEDEFAULT, CW_USEDEFAULT, 
                        NULL, NULL, hInstance, NULL); 
 
    ShowWindow(hwnd, SW_SHOWMAXIMIZED); 
    UpdateWindow(hwnd); 
 
    while(GetMessage(&msg, NULL, 0, 0)) 
    { 
        TranslateMessage(&msg); 
        DispatchMessage(&msg); 
    } 
    return msg.wParam; 
} 
 
LRESULT CALLBACK Winproc(HWND hwnd, UINT message, WPARAM wparam, LPARAM lparam) 
{ 
 
    HDC hdc; 
    static POINT pt[NUM]; 
    TEXTMETRIC tm; 
    static int cxClient, cyClient; 
    HPEN hpen; 
    int i, j, k, n, t; 
 
    switch(message) 
    { 
    case WM_CREATE: 
        static int cxchar; 
        hdc = GetDC(hwnd); 
        GetTextMetrics(hdc, &tm); 
        cxchar = tm.tmAveCharWidth; 
        ReleaseDC(hwnd, hdc); 
 
    case WM_SIZE: 
        cxClient = LOWORD(lparam); 
        cyClient = HIWORD(lparam); 
        return 0; 
    case WM_PAINT: 
        hdc = GetDC(hwnd); 
        srand(time(0)); 
 
        Rectangle(hdc, 0, 0, cxClient, cyClient); 
        for(i = 0; i < 500; i++) 
        { 
            SelectObject(hdc, GetStockObject(WHITE_PEN)); 
            PolyBezier(hdc, pt, NUM); 
            for(j = 0; j < NUM; j++) 
            { 
                pt[j].x = rand() % cxClient; 
                pt[j].y = rand() % cyClient; 
            } 
            hpen = CreatePen(PS_INSIDEFRAME, 3, RGB(rand() % 256, rand() % 256, rand() % 256)); 
            DeleteObject(SelectObject(hdc, hpen)); 
            PolyBezier(hdc, pt, NUM); 
            for(k = 0; k < 50000000; k++); 
        } 
        for(i = 0; i < 100; i++) 
        { 
            Ellipse(hdc, rand() % cxClient, rand() % cyClient, rand() % cxClient, rand() % cyClient); 
 
            Pie(hdc, j = rand() % cxClient, k = rand() % cyClient, n = rand() % cxClient, t = rand() % cyClient, rand() % cxClient, rand() % cyClient, rand() % cxClient, rand() % cyClient) ; 
 
        } 
        if((n = (n + j) / 2) > cxchar * 20) n = cxchar * 20; 
        SetTextColor(hdc, RGB(rand() % 256, rand() % 256, rand() % 256)); 
        TextOut(hdc, n / 2, (t + k) / 2, TEXT("瑾以此向Pierm Bezier致敬!"), lstrlen(TEXT("瑾以此向Pierm Bezier致敬!"))); 
        ReleaseDC(hwnd, hdc); 
        DeleteObject(hpen); 
        ValidateRect(hwnd, NULL); 
        return 0; 
 
    case WM_DESTROY: 
        PostQuitMessage(0); 
        return 0; 
    } 
    return DefWindowProc(hwnd, message, wparam, lparam); 
}