Bezier曲线简介

Bezier曲线，又有人叫贝赛尔曲线，贝兹曲线，在计算机绘图中经常被用到，由于前些天事件要用到这个，所以就研究了下。

有了参考资料，其实也不是很复杂。

曲线的介绍（转自维基百科,见本文的最下方）

初一看还是有些复杂的，其实贝兹曲线的绘制方法很简单，仔细看看一阶贝赛尔曲线，

一阶贝赛尔曲线上的由两个点确定 P0 和P1,当t在0--->1区间上递增时，根据式（1）

会得到多个点的坐标，其实这些的点就是一条直线上的点。

B(t) = (1-t)P0 + tP1--------------------------------------（1）

即：

B(t).x = (1-t)P0.x + tP1.x

B(t).y = (1-t)P0.y + tP1.y

二阶贝赛尔曲线由3个点确定，它可以理解成是这样的一阶贝赛尔曲线：确定该一阶贝赛尔曲线的两个点是变化的。

这两个点（设分别为Pm,Pn）是怎样变化的呢，这两个点又分别是(P0,P1)确定的一阶贝赛尔曲线和(P1,P2)确定的一阶贝赛尔

曲线上的点。

于是有了2阶贝赛尔曲线的公式

Pm(t) = (1-t)P0 + tP1

Pn(t) = (1-t)P1 + tP2

B(t) = (1-t)Pm(t) + tPn(t) = (1-t)^2 P0 + 2(1-t)tP1+ t^2P2

以此类推可以得到3阶贝赛尔曲线，是不是很简单？

怎样绘制是不是很简单了？

绘制3阶段贝赛尔曲线的函数，这里用VB语言实现

'函数说明：画3阶贝塞尔曲线，该3阶贝塞尔曲线由3个点确定（原本该三阶曲线是由4个点确定的，不过这里把中间两个点合为一个点）

输入：cp,用来控制贝塞尔曲线形状的3个点形成的数组

PointeOnCurve()数组用来记录曲线上的点，iPointsNum该曲线上的点的数目，也就是PointOnCureve数组的大小

iPointsNum越大，曲线越光滑。因为该算法的实质是通过这些点的连成的直线形成曲线。

     Private Type POINT_User
        X As Single
        Y As Single
      End Type

Private Sub Draw3PointBezier(cp() As POINT_User, ByRef PointOnCurve() As POINT_User, ByVal iPointsNum As Integer)

Dim dt, t As Single

dt = 1# /( iPointsNum-1)
Dim i As Integer

    For i = 0 To iPointsNum - 1
       t = i * dt
       PointOnCurve(i).X = (1 - t) ^ 3 * cp(0).X + 3 * t * (1 - t) * cp(1).X + t ^ 3 * cp(2).X
       PointOnCurve(i).Y = (1 - t) ^ 3 * cp(0).Y + 3 * t * (1 - t) * cp(1).Y + t ^ 3 * cp(2).Y

       ' If (i > 0) Then
        '           Picture_1.Line (Int(PointOnCurve(i).X), Picture_1.ScaleHeight - Int(PointOnCurve(i).Y)) _
        '           -(Int(PointOnCurve(i - 1).X), Picture_1.ScaleHeight - Int(PointOnCurve(i - 1).Y))
       '              End If
      Next i

End Sub

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貝茲曲線

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三次方貝茲曲線

在數學的數值分析領域中，貝茲曲線（Bézier curve）是電腦圖形學中相當重要的參數曲線。更高維度的廣泛化貝茲曲線就稱作貝茲曲面，其中貝茲三角是一種特殊的實例。

貝茲曲線於1962年，由法國工程師皮埃爾·貝茲所廣泛發表，他運用貝茲曲線來為汽車的主體進行設計。貝茲曲線最初由 Paul de Casteljau 於1959年運用 de Casteljau 演算法開發，以穩定數值的方法求出貝茲曲線。

1 實例說明
- 1.1 線性貝茲曲線
- 1.2 二次方貝茲曲線
- 1.3 三次方貝茲曲線
2 一般化
- 2.1 術語
- 2.2 註解
3 建構貝茲曲線
- 3.1 線性曲線
- 3.2 二次曲線
- 3.3 高階曲線
4 應用
- 4.1 電腦繪圖
5 程式範例
6 有理貝茲曲線
7 參閱
8 參考文獻
9 外部連結

[編輯] 實例說明

[編輯] 線性貝茲曲線

給定點 P₀、P₁，線性貝茲曲線只是一條兩點之間的直線。這條線由下式給出：

$/mathbf{B}(t)=/mathbf{P}_0 + (/mathbf{P}_1-/mathbf{P}_0)t=(1-t)/mathbf{P}_0 + t/mathbf{P}_1 /mbox{ , } t /in [0,1]$

且其等同於線性插值。

[編輯] 二次方貝茲曲線

二次方貝茲曲線的路徑由給定點 P₀、P₁、P₂ 的函數 B(t) 追蹤：

$/mathbf{B}(t) = (1 - t)^{2}/mathbf{P}_0 + 2t(1 - t)/mathbf{P}_1 + t^{2}/mathbf{P}_2 /mbox{ , } t /in [0,1]$ 。

TrueType 字型就運用了以貝茲樣條組成的二次貝茲曲線。

[編輯] 三次方貝茲曲線

P₀、P₁、P₂、P₃ 四個點在平面或在三維空間中定義了三次方貝茲曲線。曲線起始於 P₀ 走向 P₁，並從 P₂ 的方向來到 P₃。一般不會經過 P₁ 或 P₂；這兩個點只是在那裡提供方向資訊。 P₀ 和 P₁ 之間的間距，決定了曲線在轉而趨進 P₃ 之前，走向 P₂ 方向的「長度有多長」。

曲線的參數形式為：

$/mathbf{B}(t)=/mathbf{P}_0(1-t)^3+3/mathbf{P}_1t(1-t)^2+3/mathbf{P}_2t^2(1-t)+/mathbf{P}_3t^3 /mbox{ , } t /in [0,1]$ 。

現代的成象系統，如 PostScript、Asymptote 和 Metafont，運用了以貝茲樣條組成的三次貝茲曲線，用來描繪曲線輪廓。

[編輯] 一般化

$n$ 階貝茲曲線可如下推斷。給定點 P₀、P₁、…、P_n，其貝茲曲線即

$/mathbf{B}(t)=/sum_{i=0}^n {n/choose i}/mathbf{P}_i(1-t)^{n-i}t^i =/mathbf{P}_0(1-t)^n+{n/choose 1}/mathbf{P}_1(1-t)^{n-1}t+/cdots+/mathbf{P}_nt^n /mbox{ , } t /in [0,1]$ 。

例如 $n = 5$ ：

$/mathbf{B}(t)=/mathbf{P}_0(1-t)^5+5/mathbf{P}_1t(1-t)^4+10/mathbf{P}_2t^2(1-t)^3+10/mathbf{P}_3t^3(1-t)^2+5/mathbf{P}_4t^4(1-t)+/mathbf{P}_5t^5 /mbox{ , } t /in [0,1]$ 。

如上公式可如下遞歸表達：用 $/mathbf{B}_{/mathbf{P}_0/mathbf{P}_1/ldots/mathbf{P}_n}$ 表示由點 P₀、P₁、…、P_n 所決定的貝茲曲線。則

$/mathbf{B}(t) = /mathbf{B}_{/mathbf{P}_0/mathbf{P}_1/ldots/mathbf{P}_n}(t) = (1-t)/mathbf{B}_{/mathbf{P}_0/mathbf{P}_1/ldots/mathbf{P}_{n-1}}(t) + t/mathbf{B}_{/mathbf{P}_1/mathbf{P}_2/ldots/mathbf{P}_n}(t)$

用平常話來說， $n$ 階的貝茲曲線，即雙 $n - 1$ 階貝茲曲線之間的插值。

[編輯] 術語

一些關於參數曲線的術語，有

$/mathbf{B}(t) = /sum_{i=0}^n /mathbf{P}_i/mathbf{b}_{i,n}(t),/quad t/in[0,1]$

即多項式

$/mathbf{b}_{i,n}(t) = {n/choose i} t^i (1-t)^{n-i},/quad i=0,/ldots n$

又稱作 n 階的伯恩斯坦基底多項式，定義 0⁰ = 1。

點 P_i 稱作貝茲曲線的控制點。多邊形以帶有線的貝茲點連接而成，起始於 P₀ 並以 P_n 終止，稱作貝茲多邊形（或控制多邊形）。貝茲多邊形的凸包（convex hull）包含有貝茲曲線。

[編輯] 註解

開始於 P₀ 並結束於 P_n 的曲線，即所謂的端點插值法屬性。
曲線是直線的充分必要條件是所有的控制點都位在曲線上。同樣的，貝茲曲線是直線的充分必要條件是控制點共線。
曲線的起始點（結束點）相切於貝茲多邊形的第一節（最後一節）。
一條曲線可在任意點切割成兩條或任意多條子曲線，每一條子曲線仍是貝茲曲線。
一些看似簡單的曲線（如圓）無法以貝茲曲線精確的描述，或分段成貝茲曲線（雖然當每個內部控制點對單位圓上的外部控制點水平或垂直的的距離為 $4/left(/sqrt{2} -1/right)/3$ 時，分成四段的貝茲曲線，可以小於千分之一的最大半徑誤差近似於圓）。
位於固定偏移量的曲線（來自給定的貝茲曲線），又稱作偏移曲線（假平行於原來的曲線，如兩條鐵軌之間的偏移）無法以貝茲曲線精確的形成（某些瑣屑實例除外）。無論如何，現存的啟發法通常可為實際用途中給出近似值。

[編輯] 建構貝茲曲線

[編輯] 線性曲線

線性貝茲曲線演示動畫，t in [0,1]

線性貝茲曲線函數中的 t 會經過由 P₀ 至 P₁ 的 B(t) 所描述的曲線。例如當 t=0.25 時，B(t) 即一條由點 P₀ 至 P₁ 路徑的四分之一處。就像由 0 至 1 的連續 t，B(t) 描述一條由 P₀ 至 P₁ 的直線。

[編輯] 二次曲線

為建構二次貝茲曲線，可以中介點 Q₀ 和 Q₁ 作為由 0 至 1 的 t：

由 P₀ 至 P₁ 的連續點 Q₀，描述一條線性貝茲曲線。
由 P₁ 至 P₂ 的連續點 Q₁，描述一條線性貝茲曲線。
由 Q₀ 至 Q₁ 的連續點 B(t)，描述一條二次貝茲曲線。


二次貝茲曲線的結構		二次貝茲曲線演示動畫，t in [0,1]

[編輯] 高階曲線

為建構高階曲線，便需要相應更多的中介點。對於三次曲次，可由線性貝茲曲線描述的中介點 Q₀、Q₁、Q₂，和由二次曲線描述的點 R₀、R₁ 所建構：


三次貝茲曲線的結構		三次貝茲曲線演示動畫，t in [0,1]

對於四次曲線，可由線性貝茲曲線描述的中介點 Q₀、Q₁、Q₂、Q₃，由二次貝茲曲線描述的點 R₀、R₁、R₂，和由三次貝茲曲線描述的點 S₀、S₁ 所建構：


四次貝茲曲線的結構		四次貝茲曲線演示動畫，t in [0,1]

（還可參閱五階貝茲曲線的構成。）

[編輯] 應用

[編輯] 電腦繪圖

Image:Bézier curve in Adobe Illustrator CS2.png

Bézier path in Adobe Illustrator CS2

Image:BezierInterpolation.gif

Example of two cubic Bézier curves patched together (solid) compared to a 6th degree Bézier curve

貝茲曲線被廣泛地在計算機圖形中用來為平滑曲線建立模型。

二次和三次貝茲曲線最為常見

[編輯] 程式範例

下列程式碼為一簡單的實際運用範例，展示如何使用 C 標出三次方貝茲曲線。注意，此處僅簡單的計算多項式係數，並讀盡一系列由 0 至 1 的 t 值；實踐中一般不會這麼做，遞歸求解通常會更快速——以更多的記憶體為代價，花費較少的處理器時間。不過直接的方法較易於理解並產生相同結果。以下程式碼已使運算更為清晰。實踐中的最佳化會先計算係數一次，並在實際計算曲線點的迴圈中反複使用。此處每次都會重新計算，損失了效率，但程式碼更清楚易讀。

曲線的計算可在曲線陣列上將相連點畫上直線——點越多，曲線越平滑。

在部分架構中，下以程式碼也可由動態程式設計進行最佳化。舉例來說，dt 是一個常數，cx * t 則等同於每次反覆就修改一次常數。經反覆應用這種最佳化後，迴圈可被重寫為沒有任何乘法（雖然這個過程不是穩定數值的）。

/* 產生三次方貝茲曲線的程式碼 */ typedef struct { float x; float y; } Point2D; /* cp 在此是四個元素的陣列: cp[0] 為起始點，或上圖中的 P0 cp[1] 為第一個控制點，或上圖中的 P1 cp[2] 為第二個控制點，或上圖中的 P2 cp[3] 為結束點，或上圖中的 P3 t 為參數值，0 <= t <= 1 */ Point2D PointOnCubicBezier( Point2D* cp, float t ) { float ax, bx, cx; float ay, by, cy; float tSquared, tCubed; Point2D result; /* 計算多項式係數 */ cx = 3.0 * (cp[1].x - cp[0].x); bx = 3.0 * (cp[2].x - cp[1].x) - cx; ax = cp[3].x - cp[0].x - cx - bx; cy = 3.0 * (cp[1].y - cp[0].y); by = 3.0 * (cp[2].y - cp[1].y) - cy; ay = cp[3].y - cp[0].y - cy - by; /* 計算位於參數值 t 的曲線點 */ tSquared = t * t; tCubed = tSquared * t; result.x = (ax * tCubed) + (bx * tSquared) + (cx * t) + cp[0].x; result.y = (ay * tCubed) + (by * tSquared) + (cy * t) + cp[0].y; return result; } /* ComputeBezier 以控制點 cp 所產生的曲線點，填入 Point2D 結構的陣列。 呼叫者必須分配足夠的記憶體以供輸出結果，其為 <sizeof(Point2D) numberOfPoints> */ void ComputeBezier( Point2D* cp, int numberOfPoints, Point2D* curve ) { float dt; int i; dt = 1.0 / ( numberOfPoints - 1 ); for( i = 0; i < numberOfPoints; i++) curve[i] = PointOnCubicBezier( cp, i*dt ); }

另一種貝茲曲線的應用是在動畫中，描述物件的運動路徑等等。此處，曲線的 x、y 位置不用來標示曲線，但用來表示圖形位置。當用在這種形式時，連續點之間的距離會變的更為重要，且大多不是平均比例。點將會串的更緊密，控制點更接近每一個點，而更為稀疏的控制點會散的更開。如果需要線性運動速度，進一步處理時就需要循所需路徑將點平均分散。