0. PMF 与 PDF 的记号

• PMF：$P_X(x)$
• PDF：$f_X(x)$

1. 联合概率

联合概率：是指两个事件同时发生的概率。

$$P(A,B)=P(B|A)\cdot P(A) ⇒ P(B|A)=\frac{P(A,B)}{P(A)}$$

因此当两事件独立时，$P(A,B)=P(A)\cdot P(B)$，此时，$P(B|A)=P(B)$，也即事件 A 发不发生对事件 B 发生的概率没有影响。

2. 分布与分布函数

分布函数的现实意义在于，其能够计算随机变量的取值落在某一区间 $\left(x_1,x_2\right]$ 的概率：$P\{x_1\lt X\leq x_2\}$：

$$P\{x_1\lt X\leq x_2\}=P(X\leq x_2)-P(X\leq x_1)$$

统计学上，分布是指一组值及其对应的概率。

• 分布函数（distribution function）与 CDF（cumulative distribution function） 是一个概念。

CDF 完成的映射是，$\mathbb R\rightarrow [0, 1]$：

$$F_X(x)=P(X\leq x)$$

注意一些数学记号（$\operatorname P, p$）的写法：

$$F(x) =F_X(x)= \operatorname{P}(X\leq x) = \sum_{x_i \leq x} \operatorname{P}(X = x_i) = \sum_{x_i \leq x} p(x_i)$$

3. cdf 右连续性的理解

从上到下依次是：

• 离散型 cdf
• 连续型 cdf
• 离散+连续 cdf

4. span 的长度

手掌撑开，大拇指指尖到小指指尖的长度，称为 1 span。

某学校某年级的每学生的 span 统计起来，应当服从何种分布呢？

• 男生手指，正态分布（长度小于 0 的概率值为 0，长度足够大的概率也为 0）
• 女生手指，正态分布（…）
• 男生和女生手指一块统计，一个双峰分布；