什么是红黑树（内存最优的二叉树）

article/2025/10/1 6:12:14

一.红黑树定义

红黑树(Red Black Tree) 是一种自平衡二叉查找树，是在计算机科学中用到的一种数据结构，典型的用途是实现关联数组。

它是在1972年由Rudolf Bayer发明的，当时被称为平衡二叉B树(symmetric binary B-trees)。后来，在1978年被 Leo J. Guibas 和 Robert Sedgewick 修改为如今的"红黑树"。

红黑树和AVL树类似，都是在进行插入和删除操作时通过特定操作保持二叉查找树的平衡，从而获得较高的查找性能。

它虽然是复杂的，但它的最坏情况运行时间也是非常良好的，并且在实践中是高效的: 它可以在O(log n)时间内做查找，插入和删除，这里的是树中元素的数目。

二.红黑树是一种含有红黑结点并能自平衡的二叉查找树。它必须满足下面性质：

性质1：每个节点要么是黑色，要么是红色。
性质2：根节点是黑色。
性质3：每个叶子节点（NULL）是黑色。（同234树）
性质4：每个红色结点的两个子结点一定都是黑色。
性质5：任意一结点到每个叶子结点的路径都包含数量相同的黑结点。
性质5.1：如果一个结点存在黑子结点，那么该结点肯定有两个子结点。（由5推出）
这些约束强制了红黑树的关键性质: 从根到叶子的最长的可能路径不多于最短的可能路径的两倍长。结果是这个树大致上是平衡的。因为操作比如插入、删除和查找某个值的最坏情况时间都要求与树的高度成比例，这个在高度上的理论上限允许红黑树在最坏情况下都是高效的，而不同于普通的二叉查找树。
要知道为什么这些特性确保了这个结果，注意到性质4导致了路径不能有两个毗连的红色节点就足够了。最短的可能路径都是黑色节点，最长的可能路径有交替的红色和黑色节点。因为根据性质5所有最长的路径都有相同数目的黑色节点，这就表明了没有路径能多于任何其他路径的两倍长。

在很多树数据结构的表示中，一个节点有可能只有一个子节点，而关联数组不包含数据。用这种范例表示红黑树是可能的，但是这会改变一些属性并使算法复杂。为此，本文中我们使用 "nil 叶子" 或"空(null)叶子"，如上图所示，它不包含数据而只充当树在此结束的指示。这些节点在绘图中经常被省略，导致了这些树好象同上述原则相矛盾，而实际上不是这样。与此有关的结论是所有节点都有两个子节点，尽管其中的一个或两个可能是空叶子。

三.构建原则

因为红黑树是一颗二叉平衡树，并且查找不会破坏树的平衡，所以查找跟二叉平衡树的查找无异：

从根结点开始查找，把根结点设置为当前结点；
若当前结点为空，返回null；
若当前结点不为空，用当前结点的key跟查找key作比较；
若当前结点key等于查找key，那么该key就是查找目标，返回当前结点；
若当前结点key大于查找key，把当前结点的左子结点设置为当前结点，重复步骤2；
若当前结点key小于查找key，把当前结点的右子结点设置为当前结点，重复步骤2；

插入操作包括两部分工作：一查找插入的位置；二插入后自平衡。查找插入的父结点很简单，跟查找操作区别不大：

从根结点开始查找；
若根结点为空，那么插入结点作为根结点，结束。
若根结点不为空，那么把根结点作为当前结点；
若当前结点为null，返回当前结点的父结点，结束。
若当前结点key等于查找key，那么该key所在结点就是插入结点，更新结点的值，结束。
若当前结点key大于查找key，把当前结点的左子结点设置为当前结点，重复步骤4；
若当前结点key小于查找key，把当前结点的右子结点设置为当前结点，重复步骤4；

红黑树的删除操作也包括两部分工作：一查找目标结点；而删除后自平衡。查找目标结点显然可以复用查找操作，当不存在目标结点时，忽略本次操作；当存在目标结点时，删除后就得做自平衡处理了。删除了结点后我们还需要找结点来替代删除结点的位置，不然子树跟父辈结点断开了，除非删除结点刚好没子结点，那么就不需要替代。

二叉树删除结点找替代结点有3种情情景：