Huffman树（哈夫曼树）

哈夫曼树又称最优二叉树，是一种带权路径长度最短的二叉树。所谓树的带权路径长度，就是树中所有的叶结点的权值乘上其到根结点的路径长度（若根结点为0层，叶结点到根结点的路径长度为叶结点的层数）。树的带权路径长度记为WPL=(W1*L1+W2*L2+W3*L3+...+Wn*Ln)，N个权值Wi(i=1,2,...n)构成一棵有N个叶结点的二叉树，相应的叶结点的路径长度为Li(i=1,2,...n)。可以证明哈夫曼树的WPL是最小的。

什么是哈夫曼树呢？

样例解释

哈夫曼树是一种带权路径长度最短的二叉树，也称为最优二叉树。下面用一幅图来说明。

它们的带权路径长度分别为：

图a： WPL=5*2+7*2+2*2+13*2=54

图b： WPL=5*3+2*3+7*2+13*1=48

设根节点深度为 0

WPL

理解就是各个点的编码值和在哈夫曼生成树上的深度的乘积的和

可见，图b的带权路径长度较小，我们可以证明图b就是哈夫曼树(也称为最优二叉树)。

构建哈夫曼树 —————— 选集合中最小的两个（every）

假设有n个权值，则构造出的哈夫曼树有n个叶子结点。 n个权值分别设为 w1、w2、…、wn，则哈夫曼树的构造规则为：

将w1、w2、…，wn看成是有n 棵树的森林(每棵树仅有一个结点)；
在森林中选出两个根结点的权值最小的树合并，作为一棵新树的左、右子树，且新树的根结点权值为其左、右子树根结点权值之和；
从森林中删除选取的两棵树，并将新树加入森林；
重复(2)、(3)步，直到森林中只剩一棵树为止，该树即为所求得的哈夫曼树。

三，哈夫曼编码

利用哈夫曼树求得的用于通信的二进制编码称为哈夫曼编码。树中从根到每个叶子节点都有一条路径，对路径上的各分支约定指向左子树的分支表示”0”码，指向右子树的分支表示“1”码，取每条路径上的“0”或“1”的序列作为各个叶子节点对应的字符编码，即是哈夫曼编码。

就拿上图例子来说：

A，B，C，D对应的哈夫曼编码分别为：111，10，110，0

用图说明如下：

记住，设计电文总长最短的二进制前缀编码，就是以n个字符出现的频率作为权构造一棵哈夫曼树，由哈夫曼树求得的编码就是哈夫曼编码

对N（≥）个权值均不相同的字符构造哈夫曼树，则树中任一非叶结点的权值一定不小于下一层任一结点的权值。

正确：

哈夫曼树的构造特点，为了使得WPL值最小，那么越是值大的节点，他在哈夫曼生成树上的深度越小

可以根据上述公式证明

，假设WPL值是个定值，增加val（i），要保持WPL的值不改变，那么deep(i)必须相应的减少。

对N（N≥2）个权值均不相同的字符构造哈夫曼树。下列关于该哈夫曼树的叙述中，错误的是：

1. 先去理解哈夫曼树的构造过程，优先队列，每次取两个val最小的点，进行组合，所以，Huffman树中不会存在度数为0的点

2.同理，下面会给出代码；

3.1-1已经证明

4.错误

n 个数值，进行编码，求解WPL值的代码，stl 优先队列实现

代码很重要，最好记下来

#include<bits/stdc++.h>
#define LL long long  
#define exp 1e-9  
#define MAXN 1000010          
using namespace std;  int main( )    
{    
//  freopen("D:\\in.txt","r",stdin);  int n,i;  LL sum,tmp,q1,q2;  scanf("%d",&n);  
//构建小顶堆priority_queue<LL,vector<LL>,greater<LL> > pq;  for(i=1;i<=n;i++)  {  scanf("%lld",&tmp);  pq.push(tmp);  }  sum=0;  if(n==1)  {  printf("%lld\n",tmp);  }  else  {  while(!pq.empty())  {  q1=pq.top();  pq.pop();  if(pq.empty())  {  printf("%lld\n",sum);  break;  }  else  {  q2=pq.top();  pq.pop();  tmp=q1+q2;  pq.push(tmp);  sum+=tmp;  }  }  }  return 0;    
}

2-5

已知字符集{ a, b, c, d, e, f, g, h }。若各字符的哈夫曼编码依次是 0100, 10, 0000, 0101, 001, 011, 11, 0001，则编码序列 0100011001001011110101 的译码结果是：

这种题目：枚举暴力尝试：

C语言实现Huffman ，便于理解编码过程，做题推荐上面的代码，不推荐记忆；

#include <stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<string>
#include <iostream>#define MAXBIT      100
#define MAXVALUE  10000
#define MAXLEAF     30
#define MAXNODE    MAXLEAF*2 -1typedef struct 
{int bit[MAXBIT];int start;
} HCodeType;        /* 编码结构体 */
typedef struct
{int weight;int parent;int lchild;int rchild;char value;
} HNodeType;        /* 结点结构体 *//* 构造一颗哈夫曼树 */
void HuffmanTree (HNodeType HuffNode[MAXNODE],  int n)
{ /* i、j： 循环变量，m1、m2：构造哈夫曼树不同过程中两个最小权值结点的权值，x1、x2：构造哈夫曼树不同过程中两个最小权值结点在数组中的序号。*/int i, j, m1, m2, x1, x2;/* 初始化存放哈夫曼树数组 HuffNode[] 中的结点 */for (i=0; i<2*n-1; i++){HuffNode[i].weight = 0;//权值 HuffNode[i].parent =-1;HuffNode[i].lchild =-1;HuffNode[i].rchild =-1;HuffNode[i].value=' '; //实际值，可根据情况替换为字母  } /* end for *//* 输入 n 个叶子结点的权值 */for (i=0; i<n; i++){printf ("Please input char of leaf node: ", i);scanf ("%c",&HuffNode[i].value);getchar();} /* end for */for (i=0; i<n; i++){printf ("Please input  weight of leaf node: ", i);scanf ("%d",&HuffNode[i].weight);getchar();} /* end for *//* 循环构造 Huffman 树 */for (i=0; i<n-1; i++){m1=m2=MAXVALUE;     /* m1、m2中存放两个无父结点且结点权值最小的两个结点 */x1=x2=0;/* 找出所有结点中权值最小、无父结点的两个结点，并合并之为一颗二叉树 */for (j=0; j<n+i; j++){if (HuffNode[j].weight < m1 && HuffNode[j].parent==-1){m2=m1; x2=x1; m1=HuffNode[j].weight;x1=j;}else if (HuffNode[j].weight < m2 && HuffNode[j].parent==-1){m2=HuffNode[j].weight;x2=j;}} /* end for *//* 设置找到的两个子结点 x1、x2 的父结点信息 */HuffNode[x1].parent  = n+i;HuffNode[x2].parent  = n+i;HuffNode[n+i].weight = HuffNode[x1].weight + HuffNode[x2].weight;HuffNode[n+i].lchild = x1;HuffNode[n+i].rchild = x2;printf ("x1.weight and x2.weight in round %d: %d, %d\n", i+1, HuffNode[x1].weight, HuffNode[x2].weight);  /* 用于测试 */printf ("\n");} /* end for */} /* end HuffmanTree *///解码 
void decodeing(char string[],HNodeType Buf[],int Num)
{int i,tmp=0,code[1024];int m=2*Num-1;char *nump;char num[1024];for(i=0;i<strlen(string);i++){if(string[i]=='0')num[i]=0;        elsenum[i]=1;                    } i=0;nump=&num[0];while(nump<(&num[strlen(string)])){tmp=m-1;while((Buf[tmp].lchild!=-1)&&(Buf[tmp].rchild!=-1)){if(*nump==0){tmp=Buf[tmp].lchild ;          } else tmp=Buf[tmp].rchild;nump++;} printf("%c",Buf[tmp].value);                                  }
}int main(void)
{HNodeType HuffNode[MAXNODE];            /* 定义一个结点结构体数组 */HCodeType HuffCode[MAXLEAF],  cd;       /* 定义一个编码结构体数组， 同时定义一个临时变量来存放求解编码时的信息 */int i, j, c, p, n;char pp[100];printf ("Please input n:\n");scanf ("%d", &n);HuffmanTree (HuffNode, n);for (i=0; i < n; i++){cd.start = n-1;c = i;p = HuffNode[c].parent;while (p != -1)   /* 父结点存在 */{if (HuffNode[p].lchild == c)cd.bit[cd.start] = 0;elsecd.bit[cd.start] = 1;cd.start--;        /* 求编码的低一位 */c=p;                    p=HuffNode[c].parent;    /* 设置下一循环条件 */} /* end while *//* 保存求出的每个叶结点的哈夫曼编码和编码的起始位 */for (j=cd.start+1; j<n; j++){ HuffCode[i].bit[j] = cd.bit[j];}HuffCode[i].start = cd.start;} /* end for *//* 输出已保存好的所有存在编码的哈夫曼编码 */for (i=0; i<n; i++){printf ("%d 's Huffman code is: ", i);for (j=HuffCode[i].start+1; j < n; j++){printf ("%d", HuffCode[i].bit[j]);}printf(" start:%d",HuffCode[i].start);printf ("\n");}printf("Decoding?Please Enter code:\n");scanf("%s",&pp);decodeing(pp,HuffNode,n);getchar();return 0;
}

参考：

https://cloud.tencent.com/developer/article/1009606

https://baike.baidu.com/item/%E5%93%88%E5%A4%AB%E6%9B%BC%E6%A0%91