RC电路原理推导

因为最近有做一些RC滤波电路的东西，这部分内容都是在大学本科的时候学习的，很多东西也记得不是很清晰了，手头也没有资料翻阅，在网上看的资料都是五花八门各不一样，很多都出现错误，并且对于二阶RC电路的介绍很少，所以我做了一些整理。

一阶RC低通滤波电路

一阶RC低通滤波电路如下图所示
对应系统的传递函数的表达式如下$$\frac{{\mathrm{U}}_{\mathrm{o}}}{{\mathrm{U}}_{\mathrm{i}}}=\frac{1}{RCS+1}$$。
对其进行离散化处理$$S=\frac{1-z^{-1}}{T}$$
可得$$\frac{RC\cdot \frac{1-z^{-1}}{T}}{RC\frac{1-z^{-1}}{T}+1}=\frac{RC\left(1-z^{-1}\right)}{RC\left(1-z^{-1}\right)+T}=\frac{Y_n}{X_n}$$
整理可得$$Y_n=\frac{T}{T+RC}{X}_n+\frac{RC}{T+RC}{Y}_{n-1}$$
以上就是我们常见的一阶滤波的形式，转换成我们常见的表达式就是$$Y_n=a{X}_n+(1-a)Y_{n-1}$$

二阶RC低通滤波电路

好了讲完一阶来讲二阶，二阶相对于一阶计算的时候要复杂一点，思路还是一样的，二阶RC低通滤波的电路如下所示

二阶RC低通滤波器的传递函数表达式为$$\frac{U_0}{U_i}=\frac{\frac{1}{SC}//\left(R+\frac{1}{SC}\right)}{R+\frac{1}{SC}/\left(R+\frac{1}{SC}\right)}\cdot \frac{\frac{1}{SC}}{R+\frac{1}{SC}}$$
简化后可得$$\frac{U_0}{U_i}=\frac{RCS+1}{R^2{C}^2{S}^2+3RCS+1}\cdot \frac{1}{RCS+1}=\frac{1}{R^2{C}^2{S}^2+3RCS+1}$$
离散化$$S=\frac{1-z^{-1}}{T}$$可得$$\frac{T_{}^2}{R^2{C}^2{\left(1-z^{-1}\right)}^2+3RC\left(1-z^{-1}\right)+T^2}=\frac{Y_n}{X_n}$$整理后可得$$Y_n=\frac{T^2}{R^2{C}^2+T^2+3RC}{X}_n+\frac{2R^2{C}^2+3RC}{R^2{C}^2+T^2+3RC}{Y}_{n-1}+\frac{-R^2{C}^2}{R^2{C}^2+T^2+3RC}{Y}_{n-2}$$可以看出二阶RC与除了与当前时刻的输入有关系还和上两个时刻的输出有关。