平方剩余(二次剩余)

article/2025/10/29 13:47:48

平方剩余：
设p是奇素数(即大于2的素数)，如果二次同余式 $\ x^{^{2}} \equiv a \ mod\ p , gcd(a,p)=1$ 有解，则a称为模p的平方剩余，否则a称为模p的平方非剩余(二次非剩余)(之所以规定p是大于2的素数，是因为p = 2时解上面的二次同余式非常容易。
求出p = 5，7时的平方剩余和平方非剩余．
解　p = 5时，因为
$\\1^2\equiv 1(mod\5)\quad2^2\equiv 4(mod\5)\\ 3^2\equiv4(mod\5) \quad4^2\equiv1(mod\5)$
p = 7时，因为
$\\1^2 \equiv 1(mod\7) \quad 2^2\equiv4(mod\7)\quad3^2\equiv2(mod\7)\\ 4^2 \equiv2(mod\7)\quad5^2\equiv4(mod\7)\quad6^2\equiv1(mod\7)$
所以1，4是模5的平方剩余，而2，3是模5的平方非剩余
而且对于平方剩余还存在多解x.(对于为什么取p的完全剩余系中数的x^2,因为p的完全剩余系中就包括了模p的所有可能结果)

模p的简化剩余系中，平方剩余的个数：
设p是奇素数．在模p的简化剩余系中，有 $(p-1)/2$ 个平方剩余， $(p-1)/2$ 个平方非剩余．
证明: 取模p的最小绝对简化剩余系
$-\frac{p-1}{2}, (\frac{p-1}{2}+1) ,...-2,-1,1,2,... \frac{p-1}{2}-1,\frac{p-1}{2}$
则模p的全部平方剩余为
$(-\frac{p-1}{2})^2,[-(\frac{p-1}{2}+1)]^2,....,(-2)^2,(-1)^2,1^2,2^2,...,(\frac{p-1}{2}-1)^2,(\frac{p-1}{2})^2$
因为 $(-a)^2\equiv a^2(mod \ p)$
于是模p的全部平方剩余为
$1^2,2^2,...(\frac{p-1}{2}-1)^2, (\frac{p-1}{2})^2$
现在证明这个 $\frac{p-1}{2}$ 平方剩余两两不同，用反证法．
假设 $i^2 \equiv j^2(mod \ p) \quad i\neq j,1\leqslant\ i,j \leqslant \frac{p-1}{2}$
就有 $(i+j)(i-j)\equiv 0(mod\ p), (p \mid (i-j)(j+i))$
因为p是素数，在 $i\neq j,1\leqslant\ i,j \leqslant \frac{p-1}{2}$ 时， $p \mid (i-j)$ 或者 $p \mid (j+i)$ 都是不成立的。
所以所以在模p的简化剩余系中，有 $\frac{p-1}{2}$ 个平方剩余，同时有 $\frac{p-1}{2}$ 个平方非剩余．

求模p的平方剩余时，就可以只计算下列数了：
$1^2,2^2,...(\frac{p-1}{2}-1)^2, (\frac{p-1}{2})^2\ (mod\ p)$
就可以求出来全部的平方剩余解。

求出p = 11，时的平方剩余和平方非剩余．
解　p = 11时：
$\\1^2\equiv 1(mod\11)\quad2^2\equiv 4(mod\11)\\ 3^2\equiv9(mod\11) \quad4^2\equiv5(mod\11)\quad 5^2\equiv3(mod\11)$
则全部的解就是1,3,4,5,9

判定一个数a是模p的平方剩余解的充要条件,(p是奇素数)（欧拉判别法)
      $a^\frac{p-1}{2}\equiv 1(mod\ p)$
a是模p平方非剩余充要条件
   $a^\frac{p-1}{2}\equiv -1(mod\ p)$

勒让德符号：
设p是奇素数，a是整数．勒让德（Legendre）符号定义如下：
   $\left ( \frac{a}{p} \right )= \begin{Bmatrix} 1 ,&-1 , &0 \end{Bmatrix}$
集合里面的数值代表1：a是模p的平方剩余，-1：a是模p的平方非剩余，0：a可以被p整除 $a\mid p$
勒让德符号 $\left ( \frac{a}{p} \right ) \equiv a^\frac{p-1}{2}mod\ p$ 的性质：
a. $\left ( \frac{1}{p} \right ) =1,\left ( \frac{-1}{p} \right )=(-1)^\frac{p-1}{2}$ 即：对于任何素数p，1肯定是p的平方剩余，当p是奇素数(除2外)的时候 -1 也是模p的平方剩余
b. 由 $a\equiv b(mod\ p)$ $\Leftrightarrow$ $\left ( \frac{a}{p}\right ) =\left ( \frac{b}{p} \right )$
c. $\left ( \frac{a+kp}{p} \right )=\left ( \frac{a}{p} \right )$
d. $gcd(a,p)=1,\Rightarrow \left ( \frac{a^2}{p} \right )=1$
e. $\left ( \frac{a_1a_2...a_n}{p} \right )=\left ( \frac{a_1}{p} \right )\left ( \frac{a_2}{p} \right )...\left ( \frac{a_n}{p} \right )$
f. $\left ( \frac{2}{p} \right )=(-1)^\frac{p^2-1}{8}$
资料：https://wenku.baidu.com/view/d7a28a53b0717fd5370cdc4a.html