GJK算法

article/2025/9/25 0:26:03

转自：http://blog.sina.com.cn/s/blog_833d50630100xw1r.html

GJK算法最初用来求三维空间中凸多面体的距离（即最近距离），也因此经常用来做碰撞检测（距离是否为0）。后被推广到n维空间中求凸包之间的距离，此处用来求二维平面上2个凸多边形的距离。

GJK算法首先要解决计算Minkowski和的问题。所谓Minkowski和，指A、B两个集合，令A+B={x+y，其中x属于A，y属于B}即二者的Minkowski和。类似的可以定义负集与Minkowski差。

若A、B为凸多边形，顶点个数分别是n、m，则他们的Minkowski和一定是凸多边形且至多有n+m个顶点。

GJK算法

左上为多边形A、B，假设黑点为原点，三个图分别表示-B、A+B与A-B。A、B之间的点对距离即||x - y||，其中x属于A，y属于B；而A、B之间的距离就是||x-y||的最小值。因此，A、B之间的距离就是其Minkowski差A-B中的最小元素，这个最小指的是模最小，实际上就是距离原点的距离。因此，2个凸多边形的距离转化为点到凸多边形的距离，点指的是原点，凸多边形指的是原题中的2个凸包的Minkowski差。

Minkowski和的算法如下，将A、B的边按逆时针方向拆成向量（顺时针实际上也可以），如上图可以得到6个向量。将这些向量按极角排序，然后依次首尾相连即可得到凸包。该算法找自英文维基，感谢谷歌，感谢CCTV（关它P事）。

上述算法只是得到了和的形状与相对位置（因为首尾相连时出发的基点是原点），实际上该凸包还需做一个平移才能得到正确的坐标。如果排序时极角是取0~360度范围（NOTE：不必显示的求出极角，用先象限后叉积的方法排序），则求出A、B各自的最下最左点，将其坐标相加作为出发的基点即可。

求出Minkowski差之后（求差与求和本质是一样的），剩下的就是求点到凸多边形的距离，这个问题又转化为求点到边的距离。一个凸多边形有n条边，点到这n条边的距离的最小值就是点到凸多边形的距离。而且，点到边的距离是具有确定单调性的，因此运气好的话不需要求出所有边的距离，只需扫描到极小值即可。点到边的距离也就是点到线段的距离，利用叉积计算、点积进行判断，很容易求得。

上述算法其实不是GJK算法，因为所求为凸多边形，而GJK算法可以用来求曲线凸包之间的距离（此情况下是一个数值逼近过程）。简单描述一下GJK的迭代过程，除了初始情况下，每一步迭代时均已求得凸包边缘上的3个点构成一个三角形Tk，然后求指定点p距离Tk最近的点，记作q，再将凸包投影到pq。qp方向上最远的投影点所对应的凸包上的点记作w，最后将Tk的3个点舍去1个，然后加上w形成新的Tk+1。最开始的3个点哪里来的？似乎可以随便选边缘上的3个点，最后应该可能也许大概一定可以迭代到结果，只是影响迭代次数而已。

上述GJK算法来自《计算机图形学几何工具算法详解》中译本，此书的某些算法有问题，可能是翻译的问题。

用GJK算法的Minkowski和可以解决POJ3608。凸多边形的距离也可以使用旋转卡壳法解决，但GJK算法应该更容易实现一些。