接上文，本篇文章讲解GJK算法论文的第四、第五部分前半部分，这是整个算法最为核心的部分。第四部分阐述了算法的核心思想，而第五部分则给出了可行的算法流程。不废话，直接进入正题。

The Theoretical Algorithm

内容详解

这一节的主要内容就是介绍寻找$v(K)$的算法，其中$K$是凸的并且是紧的。如果$K$是多面体，那么这个算法能在有限次迭代后找到$v(K)$。
这个算法的主要思想如下：在$K$中生成一系列的多面体$co{V}_k$，并且序列$v(co{V}_k)$会收敛于$v(K)$。为了表述这个算法，需要引进以下定理：
定理1：设$K\subset R^m$，$K$是闭集且是凸的，然后定义函数$g_K:R^m\to R$为：
$$g_K(x)=|x{|}^2+h_K(-x),x\in K(25)$$那么有以下三个结论：
1）若$g_K(x)>0$，那么在线段 { x , s K ( − x ) } \lbrace x,s_K(-x) \rbrace {x,sK​(−x)}间必定存在一个点$z$，使得$z$满足$|z|<|x|$；
2）只有当$g_K(x)=0$时，$x=v(K)$；
3）$|x-v(K){|}^2⩽g_K(x)$
为了不把思路带偏，定理1的证明这里就不再陈述（因为不了解对理解整个算法没有太大的区别，个人观点），其证明的主要思想是三角不等式，论文的后面也有证明的过程。
接下来阐述距离算法：
1）设 V 0 = { y 1 , y 2 . . . y v } V_0 = \lbrace y_1,y_2...y_v \rbrace V0​={y1​,y2​...yv​}，其中$y_1,y_2...y_v\in K$，并且$1⩽v⩽m+1$，这一步就是说一开始要在集合中随机选取v个点，当然这个随机是可以伴随一定的策略的。这里再次提醒，$K$必须是多面体，如果是像球这样的物体，这个算法是求不了的，这是因为球会让这个算法无限迭代下去（不过mesh的话也不会有真正意义上的球）。
2）求出$v_k=v(co{V}_k)$，就是求出$$y_1,y_2...y_v$这些点构成的凸包到原点的最近的点是什么，而这个点代表的向量会代入到（15）式中进行计算。这个怎么找呢，论文的下一节才给出了算法，所以这里先不提。
3）如果$g_K(v_k)=0$（要注意里面的大小写，大写代表集合，小写代表标号），那么这个点就是我们要找的点，这个时候就可以退出循环。否则进入下一步
4）设 V k + 1 = V k ^ ⋃ { s K ( − v k ) } V_{k+1} = \hat{V_k} \bigcup \lbrace s_K(-v_k)\rbrace Vk+1​=Vk​^​⋃{sK​(−vk​)}，其中$\widehat{V_k}$指的是当$v_k\in co\widehat{V_k}$时，$\widehat{V_k}$中的顶点数最少，举个例子，在二维平面下一个三角形到原点最近的点有三种情况，一是原点落在三角形内部，那么原点需要用三个顶点来进行表示（（12）式）；二是最近的点落在三角形边上，那么这个点只需要两个顶点就可以表示；还有就是离原点最近的点就是其中一个顶点，那么这个点只用一个点就可以进行表示。然后后面的 { s K ( − v k ) } \lbrace s_K(-v_k)\rbrace {sK​(−vk​)}表示选择一个尽量靠近原点（向量的长度短），并且离$v_k$远的点A，点A必定会更靠近原点。然后将点A和$\widehat{V_k}$的并集输入到2）中继续执行。
结合上面对算法的阐述以及论文的Fig.3，这个算法应该是比较清晰的了，而且论文中也有计算过程的描述，所以这里就不多说明了。下面是论文中的图，这里的 V 0 = { z 1 , z 2 , z 3 } V_0=\lbrace z_1,z_2,z_3 \rbrace V0​={z1​,z2​,z3​}

接下来是收敛性证明，因为会把思路带偏，这里也不再做过多阐述，有兴趣的可以自己去看

初探The Distance Subalgorithm

内容详解

这一节的内容是对上一节的距离算法的一些细节进行补充，主要是步骤2），这一个小节的论述是在是太精彩了，喜欢数学以及图形的你绝对不能错过。
首先还是设定条件，设 Y = { y 1 , y 2 . . . y v } ⊂ R m Y = \lbrace y_1,y_2...y_v \rbrace \subset R^m Y={y1​,y2​...yv​}⊂Rm，即$Y=V_k$，这个$V_k$就是上一节提到的集合。那么从这个算法最终可以将$v(coY)$表示成如下形式：
$$v(coY)=\sum _{i\in I_S}{\lambda }^i{y}_i$$ ∑ i ∈ I S λ i = 1 λ i > 0 i ∈ I S ⊂ { 1 , 2 , . . . , v } \sum_{i \in I_S} \lambda^i = 1 \lambda^i > 0\space i \in I_S \subset \lbrace 1, 2,..., v \rbrace i∈IS​∑​λi=1λi>0 i∈IS​⊂{1,2,...,v} Y S = { y i , i ∈ I S } i s a f f i n e l y i n d e p e n d e n t ( 29 ) Y_S = \lbrace y_i, i \in I_S \rbrace \space is \space affinely \space independent \kern3em \lparen29\rparen YS​={yi​,i∈IS​} is affinely independent(29)其中$S$表示集合$Y$的所有非空索引集中的其中一个。可以发现，上面的式子其实就是公式（14）。这里需要注意的是$Y_S$就是距离算法中4)的$\widehat{V_k}$，之前提到说$\widehat{V_k}$是包含最少顶点的集合，这样能提高迭代的效率。
当$v$的值很小的时候，即便我们对所有顶点的所有组合进行最近点的计算，效率也是很高的，要计算的次数可以通过组合的公式得到：
$$\sigma =\sum _{k=1}^v[v!/(k!(v-k)!)]$$例如当$v=4$时，那么$\sigma =15$。回到距离算法，基于（12）式，可以知道，在三维空间中，$\widehat{V_k}$最多拥有4个点。如果还是不太清楚为什么最多是4，我这里展开解释一下。可能会有人觉得，5个点不可以吗？我们假设可以，那么要表示凸包中的点A的时候，我们会用5个点来表示这个点A，可是在三维空间里面，我们真的需要用5个点来表示一个点吗？因为用4个点的时候我们已经能构成一个四面体了，这个四面体已经能够包含空间内的点了，再多一个是可以，但是没必要，因为这样一来我们要处理的数据就更多了，而且得到的结果说不定还更复杂，而$\widehat{V_k}$仅仅需要最少的点（再次强调）。然后我们提到$Y_S=\widehat{V_k}$，所以下文中的$Y_i$就代表$\widehat{V_i}$.
(30)式使用了一堆奇怪的符号，定理3也使用了一堆奇怪的符号，一开始看得我晕头转向，然后发现在附录二中有详细的说明，所以我们先跳到附录二，然后再回来看定理3

Appendix Ⅱ

涉及的概念

在附录2中将会使用到下面几个概念，需要对其有较为清晰的认识才能保证后面不会晕，有些概念不是三言两语能解释清楚的，所以原谅我直接放上连链接。

• 代数余子式(cofactor)：百度百科
• 克莱姆法则(Cramer’s Rule)：百度百科
• 多元函数的极值与局部极值：多元函数的极值指的是当$x=x_0$时，对于$\forall x^{\prime }\in E$都有$f(x^{\prime })⩽f(x_0)$，那么$f(x_0)$就是函数$f$在集合$E$中的极值。至于局部极值，简单来说，就是在这个点$x_l$附近，$f(x_l)$最大或最小，然后这个“附近”不一定是全局，它可以是半径为1的球内（三维中），也可以是半径为10的球内，只要在某个半径内满足即可。如果点$f(x_l)$是局部极值，且对$x_l$内每个变量的偏导数都存在（$x_l$是向量），那么这些偏导数都为0。我这里的描述并不严瑾，主要是要展开的话又会涉及一系列的概念。这里记住一点就是局部极值的偏导数为0（当然前提是存在，不过针对论文描述的问题，偏导数必定存在）就够了。

内容详解

附录2主要内容是要证明定理3，但现在我们抛开这个，把附录2当成是独立的篇章，那么附录2的主要内容就是确定（29）式中${\lambda }^i$的值
首先，我们考虑如何确定$v(aff{Y}_S)$的值，其中$Y_S\in Y$。如果$Y_S$中只有1个点，那么直接求距离即可，没有太多讨论的必要，所以这里假设$Y_S$至少含有2个点，且后面提到的$r$也至少为2。$v(aff{Y}_S)$的形式如下：
$$v(aff{Y}_S)=\sum _{i=2}^r{\lambda }^i{x}_i(a)$$根据仿射集的定义有：
$${\lambda }^1=1-\sum _{i=2}^r{\lambda }^i(b)$$那么点$v(aff{Y}_S)$到原点的距离可以表示成${\lambda }^2,{\lambda }^3...{\lambda }^r$的函数：
$$f({\lambda }^2,{\lambda }^3...{\lambda }^r)=|x_1+\sum _{i=2}^r{\lambda }^i(x_i-x_1){|}^2(c)$$上面那个式子可以把求和的项拆开，就会得到一般的距离公式。然后关键点来了，$v(aff{Y}_S)$是离原点最近的点，那代表什么？没错，就是$f({\lambda }^2,{\lambda }^3...{\lambda }^r)$取最小值，之前我们提到了局部最值的概念，这里就正好可以用上。首先，我们要求$f({\lambda }^2,{\lambda }^3...{\lambda }^r)$的偏导数，简单起见，这里设r = 3，那么对©式求偏导数可得：
$$\frac{\partial f}{\partial {\lambda }^2}=2{\lambda }^2(x_2-x_1)\cdot (x_1+{\lambda }^2(x_2-x_1)+{\lambda }^3(x_3-x_1))={\lambda }^2(x_2-x_1)\cdot ({\lambda }^1{x}_1+{\lambda }^2{x}_2+{\lambda }^3{x}_3)=0$$$$\frac{\partial f}{\partial {\lambda }^3}=2{\lambda }^3(x_3-x_1)\cdot (x_1+{\lambda }^2(x_2-x_1)+{\lambda }^3(x_3-x_1))={\lambda }^3(x_3-x_1)\cdot ({\lambda }^1{x}_1+{\lambda }^2{x}_2+{\lambda }^3{x}_3)=0$$然后结合(b)式，再将这几个式子写成矩阵相乘的形式，那么我们可以得到：
$$\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ (x_2-x_1)\cdot x_1& (x_2-x_1)\cdot x_2& (x_2-x_1)\cdot x_3\\ (x_3-x_1)\cdot x_1& (x_3-x_1)\cdot x_2& (x_3-x_1)\cdot x_3\end{array}\right|\left|\begin{array}{c}{\lambda }^1\\ {\lambda }^2\\ {\lambda }^3\end{array}\right|=\left|\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right|(d)$$这就是论文中的（41）式（系数2约掉了）！接下来我们要做的事情就是通过这个式子求出${\lambda }^1,{\lambda }^2,{\lambda }^3$。求解方程组有挺多方法的，这里用的是克莱姆法则(Cramer’s Rule)，因为向量(1, 0, 0)很特殊，在用余子式求解行列式的时候，除了第一行向量(1, 0, 0)所在的那一列的余子式，其余余子式的行列式都为0，这样我们就知道了实际上符号${\Delta }_i(Y_S)$代表的是克莱姆法则中向量(1, 0, 0)的1所在的行列的代数余子式， 而$\Delta (Y_S)$代表的是系数矩阵的行列式。拿（d）式做例子，求${\lambda }^2$，那么根据克莱姆法则有：
$${\Delta }_2(Y_S)=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ (x_2-x_1)\cdot x_1& 0& (x_2-x_1)\cdot x_3\\ (x_3-x_1)\cdot x_1& 0& (x_3-x_1)\cdot x_3\end{array}\right|=(-1{)}^{1+2}\left|\begin{array}{cc}(x_2-x_1)\cdot x_1& (x_2-x_1)\cdot x_3\\ (x_3-x_1)\cdot x_1& (x_3-x_1)\cdot x_3\end{array}\right|$$那么${\lambda }^2={\Delta }_2(Y_S)/\Delta (Y_S)$。至此，我们给出了仿射集系数的解的形式。
下一篇文章我们会继续证明定理3，并且会回到第五章，继续论文里的算法，敬请期待。