多元线性回归，主要是研究一个因变量与多个自变量之间的相关关系，跟一元回归原理差不多，区别在于影响因素（自变量）更多些而已，例如：一元线性回归方程 为：

    毫无疑问，多元线性回归方程应该为：

上图中的 x1,  x2, xp分别代表“自变量”Xp截止，代表有P个自变量，如果有“N组样本，那么这个多元线性回归，将会组成一个矩阵，如下图所示：

那么，多元线性回归方程矩阵形式为：

      其中： 代表随机误差， 其中随机误差分为：可解释的误差 和 不可解释的误差，随机误差必须满足以下四个条件，多元线性方程才有意义（一元线性方程也一样）

1：服成正太分布，即指：随机误差必须是服成正太分别的随机变量。

2：无偏性假设，即指：期望值为0

3：同共方差性假设，即指，所有的  随机误差变量方差都相等

4：独立性假设，即指：所有的随机误差变量都相互独立，可以用协方差解释。

 

  今天跟大家一起讨论一下，SPSS---多元线性回归的具体操作过程，下面以教程教程数据为例，分析汽车特征与汽车销售量之间的关系。通过分析汽车特征跟汽车销售量的关系，建立拟合多元线性回归模型。数据如下图所示：

 

点击“分析”——回归——线性——进入如下图所示的界面：

 

将“销售量”作为“因变量”拖入因变量框内， 将“车长，车宽，耗油率，车净重等10个自变量 拖入自变量框内，如上图所示，在“方法”旁边，选择“逐步”，当然，你也可以选择其它的方式，如果你选择“进入”默认的方式，在分析结果中，将会得到如下图所示的结果：（所有的自变量，都会强行进入）

如果你选择“逐步”这个方法，将会得到如下图所示的结果：（将会根据预先设定的“F统计量的概率值进行筛选，最先进入回归方程的“自变量”应该是跟“因变量”关系最为密切，贡献最大的，如下图可以看出，车的价格和车轴 跟因变量关系最为密切，符合判断条件的概率值必须小于0.05，当概率值大于等于0.1时将会被剔除）

“选择变量(E)" 框内，我并没有输入数据，如果你需要对某个“自变量”进行条件筛选，可以将那个自变量，移入“选择变量框”内，有一个前提就是：该变量从未在另一个目标列表中出现！，再点击“规则”设定相应的“筛选条件”即可，如下图所示：

 

点击“统计量”弹出如下所示的框，如下所示：

在“回归系数”下面勾选“估计，在右侧勾选”模型拟合度“ 和”共线性诊断“ 两个选项，再勾选“个案诊断”再点击“离群值”一般默认值为“3”，（设定异常值的依据，只有当残差超过3倍标准差的观测才会被当做异常值） 点击继续。

提示：

共线性检验，如果有两个或两个以上的自变量之间存在线性相关关系，就会产生多重共线性现象。这时候，用最小二乘法估计的模型参数就会不稳定，回归系数的估计值很容易引起误导或者导致错误的结论。所以，需要勾选“共线性诊断”来做判断

  通过容许度可以计算共线性的存在与否？ 容许度TOL=1-RI平方 或方差膨胀因子（VIF):  VIF=1/1-RI平方，其中RI平方是用其他自变量预测第I个变量的复相关系数，显然，VIF为TOL的倒数，TOL的值越小，VIF的值越大，自变量XI与其他自变量之间存在共线性的可能性越大。

提供三种处理方法：
1：从有共线性问题的变量里删除不重要的变量

2：增加样本量或重新抽取样本。

3：采用其他方法拟合模型，如领回归法，逐步回归法，主成分分析法。

再点击“绘制”选项，如下所示：

  上图中：

DEPENDENT( 因变量）   ZPRED(标准化预测值）  ZRESID(标准化残差）    DRESID(剔除残差）    ADJPRED(修正后预测值）   SRSID(学生化残差）  SDRESID(学生化剔除残差）

 一般我们大部分以“自变量”作为 X 轴，用“残差”作为Y轴， 但是，也不要忽略特殊情况，这里我们以“ZPRED（标准化预测值）作为"x" 轴，分别用“SDRESID（血生化剔除残差）”和“ZRESID(标准化残差）作为Y轴，分别作为两组绘图变量。

再点击”保存“按钮，进入如下界面：

 

如上图所示：勾选“距离”下面的“cook距离”选项 （cook 距离，主要是指：把一个个案从计算回归系数的样本中剔除时所引起的残差大小，cook距离越大，表明该个案对回归系数的影响也越大）

在“预测区间”勾选“均值”和“单值” 点击“继续”按钮，再点击“确定按钮，得到如下所示的分析结果：(此分析结果，采用的是“逐步法”得到的结果）