gcd算法

我们通常利用gcd算法来计算两个数的最大公约数。

gcd求法有很多种，通常我们利用辗转相除法，辗转相除法又称欧几里得算法。其计算原理依赖于下面的定理：

定理：两个整数的最大公约数等于其中较小的那个数和两数相除余数的最大公约数。

即：gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)

在此有两点需要说明一下：

1. a>b
2. b>a mod b

因此我们可以简单的得到如下程序：

int gcd(int a,int b){return b == 0 ? a:gcd(b, a%b);
}

另外，这个程序用到了递归，必然会占用比较大的栈空间，那么会栈溢出吗？

不会栈溢出

可以证明出，让gcd函数递归层数最多的是gcd(Fn, F(n-1))，其中Fn是斐波那契数，因此可以证明gcd(a,b)函数的层数是不超过4.785lgN+1.6723，其中N=max(a,b)。（我也不知道是怎么证明出来的，但是可以想象出gcd函数的递归层数应该随max(a,b)的增大1收敛于一个具体的值而不是发散。）

另外gcd函数还有一些性质，gcd还可以求出两个数的最小公倍数。

紫书上有如上结论；

我们还可以推出这些结论：

1. gcd(a,b) * lcm(a,b) = a * b
2. lcm(a,b) = a / gcd(a,b) * b

唯一分解定理

唯一分解定理就是，利用把一个数可以分解为若干个素数相乘的形式的思想去解题。