提起异或想必很多小伙伴们既熟悉又陌生，熟悉是因为好像在离散数学或者学某个编程语言
时听过这个东西，而陌生呢，则是因为自己平时并没有用过，以至于当在某个场景 （我猜是在看
题解或者某篇博客时） 看到这个名词的时候很懵逼，因此才会幸运地看到这里，那么请继续往下
看吧。
目录
一. 什么是异或呢？
二. 异或有哪些运算法则呢？(不用背，下面会有例子帮助理解)
三.计算机底层是怎么进行异或运算的呢？
四.异或有什么妙用？
1. 我们来看一道leetcode上的题目
2. 两个数字交换
3. 两个数字判等
4. 加密
5. 备份
五.最后的话
一. 什么是异或呢？
异或是位运算的一种，属于逻辑运算符，是一种二进制运算。在计算机中用符号XOR 或 ^ 来
表示，数学中则用 ⊕ 表示。
众所周知，程序中的所有数据在计算机内存中都是以二进制的形式存储的。因此异或直接处
理的是二进制数字 0 和 1 。异或最基础的运算法则为: 0 ⊕ 0 = 0，1 ⊕ 0 = 1，0 ⊕ 1 = 1 ，1 ⊕ 1 =
0 一句话简单概括就是 相同为 0 ，不同为 1 。
二. 异或有哪些运算法则呢？(不用背，下面会有例子帮助理解)
1. 归零律： a ⊕ a = 0
2. 恒等律： a ⊕ 0 = a
3. 交换律： a ⊕ b = b ⊕ a
4. 结合律： a ⊕ b ⊕ c = a ⊕ ( b ⊕ c ) = ( a ⊕ b ) ⊕ c
5. 自 反： a ⊕ b ⊕ a = b
6. d = a ⊕ b ⊕ c 可以推出 a = d ⊕ b ⊕ c.
三.计算机底层是怎么进行异或运算的呢？
现在有三个数字 a b c 其对应的十进制和二进制已经给出
a = 10= 1010 b = 8 = 1000 c = 12 = 1100
我们已经知道计算机内存中以二进制存储数据，因此在进行异或运算时，计算机先把十进制
数字转换为二进制数字再进行相应的运算。如下面的几个例子，计算机一位一位地进行异或运算
（相同为0，不同为1），之后将每一位计算得到的结果合在一起，即是最终结果。
a ⊕ a = 1 0 1 0
⊕ 1 0 1 0
= 0 0 0 0
a ⊕ 0 = 1 0 1 0
⊕ 0 0 0 0
= 1 0 1 0
a ⊕ b = 1 0 1 0
⊕ 1 0 0 0
= 0 0 1 0
a ⊕ b ⊕ c = 1 0 1 0
1 0 0 0
⊕ 1 1 0 0
= 1 1 1 0
a ⊕ b ⊕ a = 1 0 1 0
1 0 0 0
⊕ 1 0 1 0
= 1 0 0 0
四.异或有什么妙用？
1. 我们来看一道leetcode上的题目
第136题 只出现一次的数字
https://leetcode.cn/problems/single-number/
这道题是要我们找出来数组中只出现一次的数字
注意要求：时间复杂度O(n) 空间复杂度O(1)
1.1 哈希表 （时间复杂度O(n) 空间复杂度O(n) ）
我看到这个题的第一思路就是用哈希表。这是这种题目通用的解法，利用哈希表的特性很容
易区分重复的和不重复的。
但是此时，时间复杂度O(n) 空间复杂度O(n) 并不满足题目要求
class Solution {public int singleNumber(int[] nums) {HashMap<Integer, Integer> map = new HashMap<>();for (int i = 0; i < nums.length; i++) {//获取当前数组中的数字在哈希表中的个数 如果没有则返回nullInteger integer = map.get(nums[i]);if (integer == null)//当前哈希表中没有该数字map.put(nums[i], 1);//加入哈希表中，数量 = 1elsemap.put(nums[i], integer + 1);//当前哈希表中已存在该数字，数量+1}Set<Integer> integers = map.keySet();for (Integer integer : integers) {//获取当前哈希表中各个数字的个数 个数为 1 的话即为所求。if (map.get(integer) == 1)return integer;}return -1;}
}1.2 暴力双重循环 （时间复杂度O(n2) 空间复杂度O(1) ）
然后就想到暴力的方式了，但是要用到两重循环 ，这个时候的时间复杂度就是 O(n2) 了，也
不满足要求。
此处代码省略1.3 快排 （时间复杂度O(nlogn) 空间复杂度O(1) ）
去看题解发现还可以先排序，然后再遍历找第 i 个数字和第 i + 1 个数字不相同的，当然此处
遍历的时候就是 i = i + 2 而不是 i++ 了，但是排序算法中没有 时间复杂度是O(n) 的，即便是快速
排序，其时间复杂度也是O(nlogn) ，因此也解决不了问题
for(int i=0;i<nums.length;i+=2){//}1.4 异或 （时间复杂度O(n) 空间复杂度O(1) ）
用异或来解决这个问题就很美妙了。
class Solution {public int singleNumber(int[] nums) {int ans = nums[0];if (nums.length > 1) {for (int i = 1; i < nums.length; i++) {//循环结束后ans 就等于数组中所有元素异或后的结果ans = ans ^ nums[i];}}return ans;}
}我们能够看到用异或来处理这个问题效率尤其的高。不需要像哈希表那样占用额外的空间，
也不用双重循环。真是优雅之极。
可能有的小伙伴不理解为什么要用异或解决这个问题，异或是怎么解决这个问题的。下面我
们就来好好说说异或处理这样的问题的美妙之处。
首先由前面我们已经知道，异或处理两个相同的数据时，得到的结果为0，而且异或的顺序是
可以交换的，交换并不会影响异或的最终结果，所以数组中所有元素异或之后，交换元素顺序，两
两相同的结合进行异或，通过异或运算我们会知道每两个相同的数字异或之后的结果为0，而多组0
之间异或后最后还剩一个0，然后就剩下那个只出现一次的数字和0之间进行异或，而由前面我们知
道任何数字和0异或结果为该数字，自此我们得到了所求结果，整个过程只需要一次循环去求数组
中所有元素之间的异或即可，优雅不优雅，美妙不美妙。
以上仅为证明这个方法可以得到最终结果，计算机会按照先后顺序依次进行异或。
下面是也是个关于异或的题目，有余力的可以尝试用异或做做看，很有意思的。第260题 只出现一次的数字Ⅲhttps://leetcode.cn/problems/single-number-iii/
2. 两个数字交换
通常，我们引用一个变量去交换，但这会浪费一个空间。而如果通过异或的话就不需要占用
一个空间。
int a = 30;int b = 23;if (a > b) {a = a ^ b;b = a ^ b;a = a ^ b;}3. 两个数字判等
我们已经知道当两个数字相等时，异或结果为0；因此我们可以利用这个特性去判等，效率更
高哦！
a^b==0//与a==b一个意思4. 加密
在这里我们要拓展一下下面这个运算法则
①d = a ⊕ b ⊕ c 可以推出 ②a = d ⊕ b ⊕ c.
我们已经知道由 ① 可以推出 ② ，其实还可以推出 a ⊕ b = c ⊕ d
此外，由 ① 推出 ② 我们可以知道 当我们得到其中的任意三个都可以推出另外一个
同理，在 c = a ⊕ b 中我们也可以由其中的任意两个来推出另外一个
这就引出了我们这里的内容，加密信息。
在密文a 、密匙b 、明文c三者之间我们也可以利用异或来实现信息的加密。
发送方可以通过密文异或密匙,来得到一篇明文发送给接收方，即 a ^ b = c 。
而接收方则可以通过密匙和明文异或获得密文，即 b ^ c = a
由此，我们就实现了信息的加密。
5. 备份
同样的，利用上面推出的结论，我们也可以备份文件，那么怎么备份呢？让我们好好想想，
上面说到当我们得到三者中的任意两者就可以得到另外一个。那么我们是不是也可以设计一种类似
与密匙的东西，通过他的处理，我们将需要备份的文件与密匙异或得到一个恢复包。这样在原始文
件丢失的情况下，我们就可以通过密匙与恢复包异或得到丢失的文件。
五.最后的话
第一次写博客，个别地方还不够完善，也参考了部分别人写的博客里的内容，如有什么错误
的地方，希望大家可以批评指正，也希望大家可以补充更多相关的内容，让我们共同进步，一起加
油吧！
参考如下：
https://blog.csdn.net/qq_19272431/article/details/78564391
https://blog.csdn.net/cuixianlong/article/details/90064348
https://zhuanlan.zhihu.com/p/453673815
