前言

游戏策划的笔试题目中，有一类涉及概率统计相关知识、经典且多变的题目：获取装备的平均次数。

本文将以这类问题中最经典最简单的问题描述及两类常见变种为基础，讲解两种简单的通用解法。

一、基础问题

1.问题描述

最基础的问题通常不会涉及太多会产生概率变化的条件。通常的题目描述为：

击杀BOSS能够随机从N件不同装备中获取1件装备，且每件装备的获取概率相同，求获取全部装备（一套装备）的平均次数（期望）

即，每件装备的随机概率为$\frac{1}{N}$，最终需要得出恰好得到N件不同装备的期望。

接下来的方法以此题目为例：

击杀BOSS能够同概率随机获取ABCDE共5件装备中的1件，求集齐全部5件装备的平均次数

2.方法描述

2.1 容斥原理通用公式

2.1.1 理论基础：容斥原理

简单来说，容斥原理实际上就是概率论中常出现的公式
$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$
和其衍生
$P(A\cup B\cup C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A\cap B)-P(A\cap C)-P(B\cap C)+P(A\cap B\cap C)$

其广义的通用公式为：
$|\underset{i=1}{\overset{m}{\cup }}{A}_i|$

$=\sum _{1\le i\le m}^m|A_i|-\sum _{1\le i<j\le m}|A_i\cap A_j|+...+(-1{)}^{m-1}|A_1\cap A_2\cap ...\cap A_m|$
$=\sum _{k=1}^n(-1{)}^{k-1}\sum _{1\le i_1<i_2<...<i_k\le m}|\underset{j=1}{\overset{k}{\cap }}{A}_{i_k}|$

2.1.2 理论基础：几何分布

获取每件装备的过程实际上就是几何分布。

几何分布（Geometric distribution）是离散型概率分布。
其中一种定义为：在n次伯努利试验中，试验k次才得到第一次成功的机率，即：前k-1次皆失败，第k次成功的概率。
几何分布是帕斯卡分布当r=1时的特例。

在伯努利试验中，成功的概率为p，几何分布的概率公式则为

$P(k)=（1-p{)}^{k-1}p$ $(k=1，2，\dots ，0<p<1)$

$E=1/p，Var=\frac{1-p}{p^2}$

每次获取装备就相当于一次独立的几何分布，因此不考虑其他装备情况，对于每一件装备而言，获取该装备的平均次数为$\frac{1}{该装备对应概率}$

2.1.3 思路讲解及求解

首先，$P(A)=P(B)=P(C)=P(D)=P(E)=0.2$
其次，以上事件是相互独立的，那么事件交集的概率即为概率直接相加
第三，无论是单独的事件还是事件并集，都能够看成几何分布，其对应期望为概率倒数。因此可以算出所有事件的平均次数。
最后，我们最终需要求的事件为：获取装备平均次数的并集，使用容斥原理进行计算。

求解过程：

$|A\cup B\cup C\cup D\cup E|$
$=5\times \frac{1}{0.2}-10\times \frac{1}{0.2+0.2}+10\times \frac{1}{0.2\times 3}-5\times \frac{1}{0.2\times 4}+\frac{1}{0.2\ast 5}=11.42$

其中 $0.2\times k$表示k个事件同时发声的概率。

2.2 几何分布直接求解

2.2.1 理论基础：几何分布

几何分布的基本数学理论在前面已经讲到了，在这里不再阐述。
需要注意的是，我们并不是只能够将每件装备的获取过程看成几何分布，也可以将类似"从几件装备中获取一件"的事件看成几何分布，只是需要注意对应概率的改变问题。

2.2.2 思路讲解及求解

• 本方法将问题拆解，变成：
  获取第一件装备——获取新装备（在剩下装备中获取一件装备）
  的过程

• 那么问题就能够分为：
  获取第一件装备的平均次数为$\frac{1}{1}=1$
  在获取第一件装备的前提下获取第二件装备，即在5件装备中剩下的4件中获取1件的平均次数为$\frac{1}{1-1/5}=1.25$
  以此类推，第三件装备平均次数1.67，第四件装备2.5，第五件装备5
  最终将全部平均次数相加，即为最终获取全部装备的平均次数11.42

• 思路理解的难点在于"获取第一件装备的前提下"以及改变的概率是多少。

  需要注意的是，本问题不是获取装备后下次不再有该装备的不放回问题，因此改变的概率以5为分母。事件的内容是获取的新装备需要在剩下4件中，因此分子为4。最终改变的概率为4/5。

  其二，有很多人会误解，每一步求得的平均次数都是在获取前面所有装备的前提下进行，最终的结果应该为最后一次平均次数，而不是相加。从理解层面来看，我们实际将问题划分为了多次独立几何分布：第一次抽取——第一次抽取后第二次抽取——…，因此以上几何分布得到的期望实际是指在抽取得到前面条件的次数结束后，还需要多少才能够获取新装备，最终相加串联分解的流程。

二、变种问题

1.变种问题一：概率变化

例如：有装备ABC，击杀BOSS能够随机获取1件装备，概率分别为30%，30%，40%，求获取全部3件的平均次数。

1.1 容斥原理

该方法为通解，结果为
$\frac{1}{0.3}+\frac{1}{0.3}+\frac{1}{0.4}-\frac{1}{0.6}-\frac{1}{0.7}-\frac{1}{0.7}+\frac{1}{1}=5.64$

1.2 几何分布

此时，由于概率不同，第一次选择后剩余抽取的概率也就不同，我们可以采用排列的方法估计剩余概率。

方式列举及其在所有掉齐装备情况中的占比：

• 方式一：40 30 30——概率$p_1=40\%$
• 方式二：30 40 30——概率$p_2=60\%\ast 40\%/70\%=0.34$
• 方式三：30 30 40——概率$p_3=60\%\ast 30\%/70\%=0.26$

那么，

• 抽取第一件装备的平均次数为1

• 抽取第二件装备的平均次数就是在每次几何分布期望基础上以各方法的概率再次取期望，即

  方式一的平均次数$t_{12}=\frac{1}{0.6}$，方式二和三的平均次数
  $t_{22}=t_{23}=\frac{1}{0.7}$
  最后抽取第二件装备的总平均次数为$p_1{t}_{12}+p_2{t}_{22}+p_3{t}_{23}$
  …
  以此类推，最后相加为5.64

2.变种问题一：掉落概率

例如：有等概率掉落的装备ABC，击杀BOSS有10%的概率掉落1件装备，求获取全部3件的平均次数。

该类问题只需要在最终的次数上乘以掉落概率的倒数即可。