目录
1、角点概述
2、数学知识
3、Harris角点检测基本原理
4、优化改进
1、角点概述
如果一个点在任意方向的一个微小变动都会引起灰度很大的变化，那么我们就把它称之为角点，也就是一阶导数(即灰度图的梯度)中的局部最大所对应的像素点就是角点。在现实世界中，角点对应于物体的拐角，道路的十字路口、丁字路口等。基于图像灰度的方法通过计算点的曲率及梯度来检测角点。
2、数学知识
1）泰勒展开
泰勒展开公式是一种统一的形式，非常完美。
一维泰勒展开公式：
二维泰勒展开公式：
2）矩阵的特征值和特征向量
harris边角（兴趣点）检测算法 - 知乎
3、Harris角点检测基本原理
人眼对角点的识别通常是在一个局部的小区域或小窗口完成的。如果在各个方向上移动这个特征的小窗口，窗口内区域的灰度发生了较大的变化，那么就认为在窗口内遇到了角点。如果这个特定的窗口在图像各个方向上移动时，窗口内图像的灰度没有发生变化，那么窗口内就不存在角点；如果窗口在某一个方向移动时，窗口内图像的灰度发生了较大的变化，而在另一些方向上没有发生变化，那么，窗口内的图像可能就是一条直线的线段。
Harris 检测器具有旋转不变性，但不具有尺度不变性，也就是说尺度变化可能会导致角点变为边缘，如下图所示：
想要尺度不变特性的话，可以关注SIFT特征。
Harris 角点检测算法分为以下三步：
1、当窗口同时向 x 和 y 两个方向移动时，计算窗口内部的像素值变化量E(u,v)；
2、对于每个窗口，都计算其对应的一个角点响应函数R；
3、然后对该函数进行阈值处理，如果R > threshold，表示该窗口对应一个角点特征。
E(u,v)推导过程：
首先，将图像窗口平移[u,v]产生灰度变化的自相关函数如下：
其中窗口函数（权重矩阵）可以是平坦的，也可以是高斯的，是一个二维的滤波器。对于一个角点来说， E(u,v)会非常大。因此，我们可以最大化上面这个函数来得到图像中的角点。用上面的函数计算会非常慢。因此，我们使用泰勒展开式（只有一阶）来得到这个公式的近似形式。
将平移后的式子进行泰勒展开如下：
其中Ix和Iy是I的偏微分，在图像中就是在x和y方向的梯度图（可以通过cv2.Sobel()来得到）：
接下来继续推导：
把u和v拿出来，得到最终的形式：
其中矩阵M为：
最后是把实对称矩阵对角化处理后的结果，可以把R看成旋转因子，其不影响两个正交方向的变化分量。经对角化处理后，将两个正交方向的变化分量提取出来，就是 λ1 和 λ2（特征值）。
对于图像的每一个像素点(x,y)，对应一个以该像素为中心的窗口w(x,y)，然后该像素平移(u,v)得到新的像素点(x+u,y+v)，而E(u,v)就是窗口中所有像素的加权和乘以不同位置像素的灰度差值。
矩阵M又称为Harris矩阵。w(x,y)的宽度决定了在像素x 周围的感兴趣区域。
计算响应函数R：
得到E(u,v)的最终形式，我们的目的是要找到会引起较大的灰度值变化的那些窗口。灰度值变化的大小则取决于矩阵M，那么如何找到这些窗口，我们可以使用矩阵的特征值来实现。
忽略余项之后的表达式为一个二项式函数，然而二项式函数的本质上就是一个椭圆函数，椭圆的扁率和尺寸是由M(x,y)的特征值λ1、λ2决定的，椭圆的方向是由M(x,y)的特征矢量决定的，如下图所示，椭圆方程为：
椭圆函数特征值与图像中的角点、直线（边缘）和平面之间的关系如下图所示。共可分为三种情况：
a）图像中的直线。一个特征值大，另一个特征值小，λ1>λ2或λ2>λ1。自相关函数值在某一方向上大，在其他方向上小。
b）图像中的平面。两个特征值都小，且近似相等；自相关函数数值在各个方向上都小。
c）图像中的角点。两个特征值都大，且近似相等，自相关函数在所有方向都增大。
通过M的两个特征值λ1和λ2的大小对图像点进行分类：
如果λ1和λ2都很小，图像窗口在所有方向上移动都无明显灰度变化。由于我们是通过M的两个特征值的大小对图像进行分类，所以，定义角点相应函数R：
其中k为经验常数，一般取k=0.04~0.06。为了去除加权常数κ，我们通常使用商数detM/(traceM)2作为指示器。所以，上图可以转化为：
因为特征值λ1和λ2决定了R的值，R 只与M的特征值有关，所以我们可以用特征值来决定一个窗口是平面、边缘还是角点。
平面：该窗口在平坦区域上滑动，窗口内的灰度值基本不会发生变化，所以|R|值非常小，在水平和竖直方向的变化量均较小，即Ix和Iy都较小，那么λ1和λ2都较小；
边缘：R值为负数，仅在水平或竖直方向有较大的变化量，即Ix和Iy只有一个较大，也就是λ1>>λ2或λ2>>λ1；
角点：R值很大，在水平、竖直两个方向上变化均较大的点，即Ix和Iy都较大，也就是λ1和λ2都很大。
最优角点判别：
根据R的值，将这个窗口所在的区域划分为平面、边缘或角点。为了得到最优的角点，我们还可以使用非极大值抑制。
Harris角点检测的结果是带有这些分数R的灰度图像，设定一个阈值，R > threshold，分数大于这个阈值的像素就对应角点。
4、优化改进
1）由于Harris角点检测算法的稳定性和k值有关，而k是个经验值，不好设定最佳值。
Shi-Tomasi发现，角点的稳定性其实和矩阵M的较小特征值有关，于是直接用较小的那个特征值作为分数。这样就不用调整k值了。
所以Shi-Tomasi将分数公式改为如下形式：
和Harris一样，如果该分数大于设定的阈值，我们就认为它是一个角点。
2）Harris和Shi-Tomasi都是基于梯度计算的角点检测方法，Shi-Tomasi的效果要好一些。基于梯度的检测方法有一些缺点: 计算复杂度高，图像中的噪声可以阻碍梯度计算。
想要提高检测速度的话，可以考虑基于模板的方法：FAST角点检测算法。该算法原理比较简单，但实时性很强。
3）Harris 检测器具有旋转不变性，但不具有尺度不变性，也就是说尺度变化可能会导致角点变为边缘，如下图所示：
想要尺度不变特性的话，可以关注SIFT特征。
相关链接：
1、harris角点检测算法实现
2、SHI-TOMASI角点检测
