运行环境及编译工具

• Windows
• VS Code

编程语言及库版本

库	版本
Python	3.7.0
copy	无
numpy	1.19.2
opencv	3.4.2
PIL	8.1.0
matplotlib	3.4.3

可执行文件

• HW_2.py
• HW_2.ipynb
• 在HW_2.ipynb中执行，详细程序信息在HW_2.py中

问题 1 通过计算一维傅里叶变换实现图像二维快速傅里叶变换（10 分）

实现一个函数 F=dft2D(f), 其中 f 是一个灰度源图像，F 是其对应的二维快速傅里叶变换 (FFT)图像. 具体实现要求按照课上的介绍通过两轮一维傅里叶变换实现。也就是首先计算 源图像每一行的一维傅里叶变换，然后对于得到的结果计算其每一列的一维傅里叶变换。 如果实现采用 MATLAB, 可以直接调用函数 fft 计算一维傅里叶变换。如果采用其他语言， 请选择并直接调用相应的一维傅里叶变换函数。

基本思路

FFT与IFFT算法主要是利用了函数“值表示”的思想和傅里叶正交的性质，依靠递归的方法可以大大缩减程序量。一维变换的编程基本思路如下图所示，对二维图像来说，先进行每行的变换，再在行变换的基础上进行列变换。

如何运行

问题一包含两个函数，均在HW_2.py文件中，在HW_2.ipynb中调试执行

from HW_2 import *
# 递归实现一维fft算法
oned_fft(arr):
# 对图像的fft
dft2D(f):

问题2 图像二维快速傅里叶逆变换 （10 分）

实现一个函数 f=idft2D(F), 其中 F 是一个灰度图像的傅里叶变换，f 是其对应的二维快速傅 里叶逆变换 (IFFT)图像，也就是灰度源图像. 具体实现要求按照课上的介绍通过类似正向变 换的方式实现。

基本思路

基本思路与上相同，需要注意的是最后得到的结果需除去图像尺寸$M\times N$

如何运行

from HW_2 import *
# 递归实现一维fft算法
oned_ifft(arr):
# 对图像的fft
idft2D(f):

问题3 测试图像二维快速傅里叶变换与逆变换 （8 分）

对于给定的输入图像 rose512.tif, 首先将其灰度范围通过归一化调整到[0,1]. 将此归一化的 图像记为 f. 首先调用问题 1 下实现的函数 dft2D 计算其傅里叶变换，记为 F。然后调用问题 2 下的函数 idft2D 计算 F 的傅里叶逆变换，记为 g. 计算并显示误差图像 d = f-g.

基本思路

基本思路为：读图f - 归一化f - FFT变换F - IFFT变换g - 误差图像d

如何运行

from HW_2 import *
Q_3()

运行结果

问题4 计算图像的中心化二维快速傅里叶变换与谱图像 (12 分)

我们的目标是复现下图中的结果。首先合成矩形物体图像，建议图像尺寸为 512×512，矩形位于图像中心，建议尺寸为 60 像素长，10 像素宽，灰度假设已归一化设为 1. 对于输入图像 f 计算其中心化二维傅里叶变换 F。然后计算对应的谱图像 S=log(1+abs(F)). 显示该谱图像。

基本思路

• 创建空白图像f，像素值均为0
• 将空白图像中心$10\times 60$区域的像素值置为1
• 中心化f，得到f_shift:$f\_shift(x,y)=(-1{)}^{x+y}f(x,y)$
• 分别对f，和f_shift进行fft变换得到F，和F_shift
• 对F_shift计算谱图像

如何运行

from HW_2 import *
Q_4()

运行结果

选做题 测试更多图像的二维快速傅里叶变换 (10 分)

计算其他 5 幅图像的二维快速傅里叶变换： house.tif, house02.tif, lena_gray_512.tif, lunar_surface.tif, characters_test_pattern.tif。注意，有些图像的尺寸不是 2 的整数次幂，需要 进行相应的像素填补处理。如果图像有多个通道可以选择其中的一个通道进行计算。

基本思路

• 判断图像尺寸是否为二次幂，并返回最近的二次幂值
• 以上述返回的二次幂值为尺寸创建zero图像，并原图大小的范围内用原图像素填充
• 对每张图像进行Q3的操作

如何运行

from HW_2 import *
Q_5("./house.tif")
Q_5("./house02.tif")
Q_5("./lena_gray_512.tif")
Q_5("./lunar_surface.tif")
Q_5("./characters_test_pattern.tif")

运行结果