按方位提取高程数据的方法

article/2025/7/26 16:50:22

1. 问题的描述

根据经过Lambert变换后显示的地图设置方位，以正北方向为零度，顺时针旋转的角度为相应的方位角。以站址为中心，沿相应的方位提取高程数据，形成某指定方位的随距离变化的高程数据。所获得的高程数据尚未考虑地球曲率的影响，为引入地球曲率的影响，则需要数据进行相应的坐标变换，以获得按站址坐标系描述的高程信息。

2. 沿方位的采样点坐标的选取

假设屏幕显示区域的像素数为 $(N_X,N_Y)$ ，所对应的距离范围为 $(R_X, R_Y)$ km，站址位于显示区域的中心。考虑方位 $\theta$ 方向上的采样点的提取。

由上述参数可见， $x$ 方向上的每个像素代表的距离为 $r_X = R_X/N_X$ km/pixel， $y$ 方向上的每个像素代表的距离为 $r_Y = R_Y/N_Y$ km/pixel。根据参数 $r_X$ 、 $r_Y$ 和 $\theta$ 确定步进长度

$l_s = \left\{\begin{matrix} \left | r_Y \right |, & \theta = 0^{\circ}, 180^{\circ}\\ \left | r_X \right |, & \theta = 90^{\circ}, 270^{\circ}\\ \min\left\{\left | r_X/\sin\theta \right |, \left | r_Y/\cos\theta \right |\right\}, & \mbox{otherwise} \end{matrix}\right.$

所以，沿方位的第 $n$ ( $n=0,1,2,\cdots,\min\{N_X/2, N_Y/2 \}$ )个点的坐标 $(x_n, y_n)$ 为

$\left\{\begin{matrix} x_n = n\times l_s \times \sin\theta\\ y_n = n\times l_s \times \cos\theta \end{matrix}\right.$

根据获得的坐标 $(x_n, y_n)$ 经过逆Lambert变换可获得该点的经纬度 $(\lambda_n, \phi_n)$ ，再利用其经纬度 $(\lambda_n, \phi_n)$ 获取SRTM3中的高程值 $h_n$ ，这样就获得了坐标 $(x_n, y_n)$ 所对应的大地坐标 $(\lambda_n, \phi_n, h_n)$ 。

3. 大地坐标到站址坐标的变换

大地坐标到站址坐标的变换需要借助地心地固坐标系(Earth-Centered, Earth-Fixed，ECEF)的中介。ECEF坐标系是一种以地心为原点的地固坐标系，是一种笛卡儿坐标系。原点 O (0,0,0)为地球质心， $z$ 轴与地轴平行指向北极点， $x$ 轴指向本初子午线与赤道的交点， $y$ 轴垂直于 $xOz$ 平面(即东经90度与赤道的交点)构成右手坐标系。

大地坐标 $(\lambda_n, \phi_n, h_n)$ 到ECEF坐标系 $(X_n, Y_n, Z_n)$ 的变换关系

$\left\{\begin{matrix} X_n = (R+h_n)\cos\phi\cos\lambda /1000\\ Y_n = (R+h_n)\cos\phi\sin\lambda /1000\\ Z_n = [R(1-e^2)+h_n]\sin\phi /1000\end{matrix}\right.$

式中， $e=\sqrt{a^2 - b^2}/a=0.0818191910428$ 为地球第一偏心率； $a=6378137$ m为地球长半轴； $b=6356752.31414$ m为地球短半轴； $R = a/\sqrt{1-e^2\sin^2\phi}$ 为卯酉圈半径。ECEF坐标系中的单位为 km。

ECEF坐标系 $(X_n, Y_n, Z_n)$ 转换为站址(ENU，东北天)坐标系 $(E_n, N_n, H_n)$ 。假设站址的大地坐标为 $(\lambda_0, \phi_0, h_0)$ ，对应的ECEF坐标 $(X_0, Y_0, Z_0)$ ，则变换关系为

$\begin{bmatrix} N_n\\ E_n\\ U_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\sin\phi_0\cos\lambda_0 & -\sin\lambda_0 & \cos\phi_0\cos\lambda_0 \\ -\sin\phi_0\sin\lambda_0 & \cos\lambda_0 & \cos\phi_0\sin\lambda_0 \\ \cos\phi_0 & 0 & \sin\phi_0 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} X_n-X_0\\ Y_n - Y_0\\ Z_n - Z_0 \end{bmatrix}$

ENU坐标系中的单位为 km。通常会将 $U_n$ 的单位变换为 m。

4. 特定方位的高程变化曲线

不考虑地球曲率的影响：横轴距离为 $n\times l_s$ ，单位为km，纵轴为高程，单位m，应该是大地坐标 $(\lambda_n, \phi_n, h_n)$ 中的 $h_n$ ，单位为m。
考虑地球曲率的影响：横轴距离为 $\sqrt{N_n^2 + E_n^2}$ ，单位为km，纵轴为高程，应该是ENU坐标系中 $(E_n, N_n, H_n)$ 中的 $1000\times H_n$ ，单位为m。