卷积的基本概念

卷积，是一个强有力的数学工具，在计算机领域中有很多非常不错的运用，能产生很多意想不到的效果和输出。

数学上，其连续函数的解析式写作：

$$F(x)={\int }_{-\infty }^{\infty }f(\tau )g(x-\tau )d\tau$$

而离散形为：

$$F(x)=\sum _{\tau =0}^{N}f(\tau )g(x-\tau )$$

其本质，表示如下一个操作¹：

通常情况下，$f(\tau )$ 表示被积函数，而 $g(x-\tau )$ 表示卷积核函数。这里多说一句，之所以不使用 $f(x)$ 表示原函数而用 $f(\tau )$ ，而且强调 $f(\tau )$ 是被积函数，是因为 $f(x)$ 与 $f(\tau )$ 之间还存在着如下关系：

$$f(x)={\int }_{-\infty }^{\infty }f(\tau )d\tau$$

这是因为这里面多了一个滑动的概念，卷积核函数的大小不一定跟原函数一致，通常情况下，在滑动计算过程中，卷积核函数一次只处理原函数的一部分。

$\tau$ 在某些教科书里，通常被称为一个与时间相关的变量。但你其实只需要理解，$\tau$ 其实是 $x$ 的一个，连续地包含了一定数量元素的子集。

卷积运算公式

卷积运算公式最好你能了解一下，虽然说写程序可能一辈子都用不到卷积的运算公式，但没准在论文里，或者某些考试的卷子上会出现这些公式。

交换律

$$x(t)\ast h(t)=h(t)\ast x(t)$$

分配律

$$x(t)\ast [g(t)+h(t)]=x(t)\ast g(t)+x(t)\ast h(t)$$

结合律

$$[x(t)\ast g(t)]\ast h(t)=x(t)\ast [g(t)\ast h(t)]$$

数乘结合律

$$a[x(t)\ast h(t)]=[ax(t)]\ast h(t)=x(t)\ast [ah(t)]$$

卷积核

卷积核的选取，我个人认为是卷积这种数学工具最重要的部分。因为对于做工程，或者做其他研究，一旦遇上需要使用卷积的部分，增强或者平滑某种信号，亦或者需要从原始信号中提取某种特征，通常意味着需要使用不同的卷积核。

对于数字图像来说，卷积核通常有这些类型，比如平滑（模糊）卷积核，锐化（增强）卷积核，以及边缘卷积核等。

卷积核函数有时会被称为卷积算子，即一个函数空间到函数空间上的映射。从我个人的理解看，他们只是名称叫法不一样，就类似于一个人的昵称、姓名、绰号一类，也就是所谓函数本尊。

另外，根据这类积分函数的特点，卷积核的大小其实是没有固定的规定。对于图像来说，常用的卷积核大小为 $3\times 3$，但根据需要你也可以定义别的大小 $4\times 4$，$5\times 5$。

$3\times 3$ 之所以比较常见，这通常是差分形式所决定的。

例如，对于拉普拉斯算子来说，其 $3\times 3$ 的数值通常如下：

$$\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& -4& 1\\ 0& 1& 0\end{array}\right]$$

之所以是这些特定的数值，并非心血来潮，而是根据拉普拉斯的中间差分的差分形式计算后得出

$$\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}\approx f(x+1,y)-2f(x,y)+f(x-1,y)$$
$$\frac{{\partial }^2}{\partial y^2}\approx f(x,y+1)-2f(x,y)+f(x,y-1)$$

即

$${▽}^{2}f(x)\approx f(x+1,y)+f(x-1,y)+f(x,y+1)+f(x,y-1)-4f(x,y)$$

也就是说，这里的拉普拉斯算子的运算矩阵的每一个元素的数值，是其差分形式的所对应元素的系数。

因此，如果你要自行设计卷积核，那么需要根据使用卷积核函数所对应的差分形式，重新推算出新的矩阵每一项的值。

代码的基本框架

def convolution_kernel(data):# 定义卷积核函数kernel = np.array([[0, 1, 0],[1, -4, 1],[0, 1, 0]])# 卷积核计算# 将数组从二维转换为一维kernel = kernel.flatten()data = data.flatten()# 将核函数反转后和原始数据进行计算kernel = np.flipud(kernel)result = kernel * data# 返回加和后的值，并四舍五入return round(np.sum(result))def image_convolution(image):# 获取图片的长宽width, height = image.shapebackup = np.zeros(image.shape, np.uint8)# 对图片逐像素点遍历for i in range(1, width - 1):for j in range(1, height - 1):# 从图片中取出一个小矩阵，大小跟卷积核大小一致: 3x3sub_img = image[i-1:i+2, j-1:j+2]backup[i][j] = convolution_kernel(sub_img)# 返回处理后的图片return backup

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1. 《如何通俗易懂地解释卷积》 ，https://www.zhihu.com/question/22298352 ↩︎