平滑滤波

article/2025/8/24 9:26:44

平滑滤波是低频增强的空间域滤波技术。它的目的有两类：一类是模糊；另一类是消除噪音。空间域的平滑滤波一般采用简单平均法进行，就是求邻近像元点的平均亮度值。邻域的大小与平滑的效果直接相关，邻域越大平滑的效果越好，但邻域过大，平滑会使边缘信息损失的越大，从而使输出的图像变得模糊，因此需合理选择邻域的大小。

簡易型平滑濾波器

最簡易型的平滑濾波器可表示為下式

y[n]={1 \over 2L+1}\sum _{​{\tau =n-L}}^{​{n+L}}x[\tau ]

可改寫為

y[n]=x[n]*h[n]

h[n]如下圖所示

簡易型平滑濾波器的脈衝響應h[n]

y[n]=\sum _{​{\tau }}x[n-\tau ]h[\tau ]=\sum _{​{\tau =-L}}^{​{L}}x[n-\tau ]{1 \over 2L+1}={1 \over 2L+1}\sum _{​{\tau =-L}}^{​{L}}x[n-\tau ]

y[n]={1 \over 2L+1}\sum _{​{\tau =n-L}}^{​{n+L}}x[\tau ]

y[n-1]={1 \over 2L+1}\sum _{​{\tau =n-1-L}}^{​{n-1+L}}x[\tau ]

則可以把y[n]改寫為遞迴形式

y[n]=y[n-1]+{1 \over 2L+1}(x[n+L]-x[n-1-L])

一般型態平滑濾波器

一般型態平滑濾波器可表示成下列式子

y[n]=x[n]*h[n]=\sum _{​{\tau =n-L}}x[n-\tau ]h[\tau ]

而h[n]需符合下列條件

{\begin{cases}\ 1.h[n]=h[-n]\\\ 2.|h[n_{1}]|\leq |h[n_{2}]|&|n_{1}|>|n_{2}|\end{cases}}

任何隨著｜n｜遞減的偶函數都可以當成平滑濾波器

一般型平滑濾波器的脈衝響應範例h[n]

應用

平滑濾波器多用來模糊化、去除雜訊，找出信號長期趨勢。

下列為平滑濾波器簡單的範例

% matlab code %y =[0:0.1:5]';                       %產生信號y = y+ 0.15.*randn(length(y), 1);    %信號加上雜訊y2 = smooth(y');                     %使用平滑濾波器去信號雜訊subplot(2,1,1),plot(b,y);title('x[n]');subplot(2,1,2),plot(b,y2); title('x[n] after smoother');