机器学习-逻辑斯蒂回归（Logistic Regression）

注：内容转自https://github.com/NLP-LOVE/ML-NLP/tree/master/Machine%20Learning，略有修改。

逻辑

1. 什么是逻辑斯蒂回归

2. 什么是Sigmoid函数

3. 损失函数是什么

4.可以进行多分类吗？

5.逻辑斯蒂回归有什么优缺点

6. 逻辑斯蒂回归有哪些应用

7. 逻辑斯蒂回归常用的优化方法有哪些

7.1 一阶方法

7.2 二阶方法：牛顿法、拟牛顿法：

8. 逻辑斯特回归为什么要对特征进行离散化。

9. 逻辑回归的目标函数中增大L1正则化会是什么结果。

10. 代码实现

逻辑

1. 什么是逻辑斯蒂回归

逻辑回归是用来做分类算法的，大家都熟悉线性回归，一般形式是Y=aX+b，y的取值范围是[-∞, +∞]，有这么多取值，怎么进行分类呢？不用担心，伟大的数学家已经为我们找到了一个方法。

也就是把Y的结果带入一个非线性变换的Sigmoid函数中，即可得到[0,1]之间取值范围的数S，S可以把它看成是一个概率值，如果我们设置概率阈值为0.5，那么S大于0.5可以看成是正样本，小于0.5看成是负样本，就可以进行分类了。

2. 什么是Sigmoid函数

函数公式如下：

函数中t无论取什么值，其结果都在[0,1]的区间内，回想一下，一个分类问题就有两种答案，一种是“是”，一种是“否”，那0对应着“否”，1对应着“是”，那又有人问了，你这不是[0,1]的区间吗，怎么会只有0和1呢？这个问题问得好，我们假设分类的阈值是0.5，那么超过0.5的归为1分类，低于0.5的归为0分类，阈值是可以自己设定的。

好了，接下来我们把aX+b带入t中就得到了我们的逻辑回归的一般模型方程：

结果P也可以理解为概率，换句话说概率大于0.5的属于1分类，概率小于0.5的属于0分类，这就达到了分类的目的。

3. 损失函数是什么

二项逻辑回归的条件概率分布为:

$P(Y=1) =h_{\theta}(x)$

$P(Y=0) =1-h_{\theta}(x)$

其中， $h_{\theta}(x) = \frac{1}{1+exp-(\theta^{T} X+b)}$

因此，其似然函数为：

$\prod_{i=1}^{N}(h_{\theta}(x))^{y_{i}}(1-h_{\theta}(x))^{1-y_{i}}$

求模型参数\theta, 也就是使得似然函数为最大值时对应的参数\theta, 对似然函数取对数，也就是要求对数似然函数取最大值：

$L(\theta) = \sum_{i=1}^{N} [{y_{i}} (h_{\theta}(x)) + ({1-y_{i}})(1-h_{\theta}(x))]$

由于损失函数一般是取最小值，因此损失函数定义为对数似然函数的相反数，即

$Cost(h_{\theta}(x),y) = -L(\theta) = -\sum_{i=1}^{N}[{y_{i}} (h_{\theta}(x)) + ({1-y_{i}})(1-h_{\theta}(x))]$

化成分段函数公式如下：

这样构建的𝐶𝑜𝑠𝑡(h𝜃(𝑥),𝑦)函数的特点是:

当实际的 𝑦 = 1 且h𝜃(𝑥)也为 1 时误差为 0，当 𝑦 = 1 但h𝜃(𝑥)不为 1 时误差随着h𝜃(𝑥)变小而变大;
当实际的 𝑦 = 0 且h𝜃(𝑥)也为 0 时代价为 0，当𝑦 = 0 但h𝜃(𝑥)不为 0 时误差随着 h𝜃(𝑥)的变大而变大

最后按照梯度下降法一样，求解极小值点，得到想要的模型效果。

4.可以进行多分类吗？

可以的，其实我们可以从二分类问题过度到多分类问题(one vs rest)，思路步骤如下：

1.将类型class1看作正样本，其他类型全部看作负样本，然后我们就可以得到样本标记类型为该类型的概率p1。

2.然后再将另外类型class2看作正样本，其他类型全部看作负样本，同理得到p2。

3.以此循环，我们可以得到该待预测样本的标记类型分别为类型class i时的概率pi，最后我们取pi中最大的那个概率对应的样本标记类型作为我们的待预测样本类型。

总之还是以二分类来依次划分，并求出最大概率结果。

5.逻辑斯蒂回归有什么优缺点

优点

LR能以概率的形式输出结果，而非只是0,1判定。
LR的可解释性强，可控度高(你要给老板讲的嘛…)。
训练快，feature engineering之后效果赞。
因为结果是概率，可以做ranking model

缺点

不能用Logistic回归去解决非线性问题，因为Logistic的决策面试线性的；
对多重共线性数据较为敏感；
很难处理数据不平衡的问题；
准确率并不是很高，因为形式非常的简单(非常类似线性模型)，很难去拟合数据的真实分布
逻辑回归本身无法筛选特征，有时会用gbdt来筛选特征，然后再上逻辑回归

6. 逻辑斯蒂回归有哪些应用

CTR预估/推荐系统的learning to rank/各种分类场景。
某搜索引擎厂的广告CTR预估基线版是LR。
某电商搜索排序/广告CTR预估基线版是LR。
某电商的购物搭配推荐用了大量LR。
某现在一天广告赚1000w+的新闻app排序基线是LR。

7. 逻辑斯蒂回归常用的优化方法有哪些

7.1 一阶方法

梯度下降、随机梯度下降、mini 随机梯度下降降法。随机梯度下降不但速度上比原始梯度下降要快，局部最优化问题时可以一定程度上抑制局部最优解的发生。

7.2 二阶方法：牛顿法、拟牛顿法：

这里详细说一下牛顿法的基本原理和牛顿法的应用方式。牛顿法其实就是通过切线与x轴的交点不断更新切线的位置，直到达到曲线与x轴的交点得到方程解。在实际应用中我们因为常常要求解凸优化问题，也就是要求解函数一阶导数为0的位置，而牛顿法恰好可以给这种问题提供解决方法。实际应用中牛顿法首先选择一个点作为起始点，并进行一次二阶泰勒展开得到导数为0的点进行一个更新，直到达到要求，这时牛顿法也就成了二阶求解问题，比一阶方法更快。我们常常看到的x通常为一个多维向量，这也就引出了Hessian矩阵的概念（就是x的二阶导数矩阵）。

缺点：牛顿法是定长迭代，没有步长因子，所以不能保证函数值稳定的下降，严重时甚至会失败。还有就是牛顿法要求函数一定是二阶可导的。而且计算Hessian矩阵的逆复杂度很大。

拟牛顿法：不用二阶偏导而是构造出Hessian矩阵的近似正定对称矩阵的方法称为拟牛顿法。拟牛顿法的思路就是用一个特别的表达形式来模拟Hessian矩阵或者是他的逆使得表达式满足拟牛顿条件。主要有DFP法（逼近Hession的逆）、BFGS（直接逼近Hession矩阵）、 L-BFGS（可以减少BFGS所需的存储空间）。

8. 逻辑斯特回归为什么要对特征进行离散化。

非线性！非线性！非线性！逻辑回归属于广义线性模型，表达能力受限；单变量离散化为N个后，每个变量有单独的权重，相当于为模型引入了非线性，能够提升模型表达能力，加大拟合；离散特征的增加和减少都很容易，易于模型的快速迭代；
速度快！速度快！速度快！稀疏向量内积乘法运算速度快，计算结果方便存储，容易扩展；
鲁棒性！鲁棒性！鲁棒性！离散化后的特征对异常数据有很强的鲁棒性：比如一个特征是年龄>30是1，否则0。如果特征没有离散化，一个异常数据“年龄300岁”会给模型造成很大的干扰；
方便交叉与特征组合：离散化后可以进行特征交叉，由M+N个变量变为M*N个变量，进一步引入非线性，提升表达能力；
稳定性：特征离散化后，模型会更稳定，比如如果对用户年龄离散化，20-30作为一个区间，不会因为一个用户年龄长了一岁就变成一个完全不同的人。当然处于区间相邻处的样本会刚好相反，所以怎么划分区间是门学问；
简化模型：特征离散化以后，起到了简化了逻辑回归模型的作用，降低了模型过拟合的风险。

9. 逻辑回归的目标函数中增大L1正则化会是什么结果。

所有的参数w都会变成0。

10. 代码实现

https://nbviewer.org/github/maofeilong/100-Days-Of-ML-Code-1/blob/c5e8bcea740355d7f9b48cbcf4f9237108d7e408/Day%206_Logistic_Regression.ipynbhttps://nbviewer.org/github/maofeilong/100-Days-Of-ML-Code-1/blob/c5e8bcea740355d7f9b48cbcf4f9237108d7e408/Day%206_Logistic_Regression.ipynb