【数学➡️量化】两个必须知道的金融中的数学应用!!

article/2024/2/25 17:33:29

引言

相信如果是数学系的本科生,想工作向量化转行的这个路上难免遇到许多的“水土不服”——怀疑自己的数学是否能派上用场,一边觉得自己论应用比不过金工的同学,一边觉得论编程比不过计算机的同学… 但其实,不用怀疑自己!数学是量化的“地基”,一定能在日后的工作中方便我们搭建“上层建筑”。那么今天,就让小编就带大家来看看历史上由金融数学引发的两次“华尔街革命”!

投资组合理论

第一次是马科维茨(Markowitz)在上世纪50年代初期首次提出了证券投资组合理论(Portfolio theory)。他明确地用数学工具给出了在一定风险水平下通过不同比例的投资方式来投资多种类型的证券,并且能够获得收益最大化的投资方法。这样说肯定不够生动形象,那我们就引个简单情况下的例子来理解一下~

设有一笔资金,总量记为1(可以是1万元,也可以是100万元等),如今要投资甲、乙两种证券。若将资金 x 1 x_1 x1投资于甲证券,将余下的资金 1 − x 1 = x 2 1-x_1=x_2 1x1=x2投资于乙证券,于是 ( x 1 , x 2 ) (x_1,x_2) (x1,x2)就形成一个投资组合

X X X为投资甲证券的收益率, Y Y Y为投资乙证券的收益率,它们都是随机变量。如果已知 X X X Y Y Y的均值(代表平均收益率)分别为 μ 1 \mu 1 μ1 μ 2 \mu 2 μ2,方差(代表风险)分别为 δ 1 2 \delta_1^2 δ12 δ 2 2 \delta_2^2 δ22 X X X Y Y Y间的相关系数为 ρ \rho ρ,那么该投资组合的平均收益与风险(方差)是多少?使投资风险最小的 x 1 x_1 x1又是多少?


因为组合收益为 Z = x 1 X + x 2 Y = x 1 X + ( 1 − x 1 ) Y , Z=x_1X+x_2Y=x_1X+(1-x_1)Y, Z=x1X+x2Y=x1X+(1x1)Y,所以该组合的平均收益为
E ( Z ) = x 1 E ( X ) + ( 1 − x 1 ) E ( Y ) = x 1 μ 1 + ( 1 − x 1 ) μ 2 E(Z)=x_1E(X)+(1-x_1)E(Y)=x_1\mu_1+(1-x_1)\mu_2 E(Z)=x1E(X)+(1x1)E(Y)=x1μ1+(1x1)μ2而组合的风险(方差)为
V a r ( Z ) = V a r { x 1 X + ( 1 − x 1 ) Y } = x 1 2 V a r ( X ) + ( 1 − x 1 ) 2 V a r ( Y ) + 2 x 1 ( 1 − x 1 ) C o v ( X , Y ) = x 1 2 δ 1 2 + ( 1 − x 1 ) 2 δ 2 2 ρ δ 1 δ 2 Var(Z) \\ =Var\{x_1X+(1-x_1)Y\}=x_1^2Var(X)+(1-x_1)^2Var(Y)+2x_1(1-x_1)Cov(X,Y) \\=x_1^2\delta_1^2+(1-x_1)^2\delta_2^2\rho\delta_1\delta_2 Var(Z)=Var{x1X+(1x1)Y}=x12Var(X)+(1x1)2Var(Y)+2x1(1x1)Cov(X,Y)=x12δ12+(1x1)2δ22ρδ1δ2
求最小的组合风险,即求 V a r ( Z ) Var(Z) Var(Z)关于 x 1 x_1 x1的极小点,为此令
d ( V a r ( X ) ) d x 1 = 2 x 1 δ 1 2 − 2 ( 1 − x 1 ) δ 2 2 + 2 ρ δ 1 δ 2 − 4 x 1 ρ δ 1 δ 2 = 0 \frac{ \text{d}(Var(X)) }{\text{d}x_1}=2x_1\delta_1^2-2(1-x_1)\delta_2^2+2\rho\delta_1\delta_2-4x_1\rho\delta_1\delta_2=0 dx1d(Var(X))=2x1δ122(1x1)δ22+2ρδ1δ24x1ρδ1δ2=0从中解得
x ∗ = δ 2 2 − ρ δ 1 δ 2 δ 1 2 + δ 2 2 − 2 ρ δ 1 δ 2 x^*=\frac{\delta_2^2-\rho\delta_1\delta_2}{\delta_1^2+\delta_2^2-2\rho\delta_1\delta_2} x=δ12+δ222ρδ1δ2δ22ρδ1δ2它与 μ 1 , μ 2 \mu_1,\mu_2 μ1μ2无关,又因为 V a r ( Z ) Var(Z) Var(Z) x 1 2 x_1^2 x12的系数为正,所以以上的 x 1 ∗ x_1^* x1可使组合风险达到最小。

期权定价理论

相信稍微了解过量化的小伙伴都不会对期权定价感到陌生(想起来小编第一次找实习的笔试就是这个,当时真是一脸懵TT)。第二次引发的“华尔街革命”是在1973年。是美国著名金融学家ScholesBlack利用数学的方法得出了期权定价模型。该模型的产生推动了期权交易的发展,期权交易也迅速占据了金融市场的主要份额。

Black-Scholes期权定价公式中,它设波动率为常数。HullWhite(1987)研究了当波动率是随机变量时期权的定价。随着GARCH模型系统的引入系统性资产波动率中,人们希望把GARCH模型波动率应用到期权定价和对冲(Engle&Rosenberg,1995)。
提醒:以下大量公式定理出没,以了解思想为主即可!

单只股票的标准期权定价方法的基本模型是: 股票价格 P t P_t Pt服从一个几何布朗运动,即 d P t P t = r d t + δ d W t \frac{\text{d}P_t}{P_t}=r\text{d}t+\delta \text{d}W_t PtdPt=rdt+δdWt这里的 r r r是无风险利率, δ \delta δ是波动率, W t W_t Wt是标准维纳过程(Wiener process). 这是在风险中性时的模型(Hull, 2011;Tasy, 2010)。 根据伊藤引理(Ito’s lemma),股票对数服从如下模型:
d l n ( P t ) = ( r − δ 2 2 ) d t + δ d W t \text{d}ln(P_t)=(r-\frac{\delta^2}{2})\text{d}t+\delta\text{d}W_t dln(Pt)=(r2δ2)dt+δdWt在实践中,假设 r r r δ \delta δ都已知,模型唯一的不确定性是随机变 d W t \text{d}W_t dWt,该式可以用来模拟股票的价格。模型的离散时间形式变为:
P t = P t − 1 exp ( r − 0.5 δ 2 + δ ε t ) P_t=P_{t-1} \text{exp}(r-0.5\delta^2+\delta \varepsilon_t) Pt=Pt1exp(r0.5δ2+δεt)
这里 ε t \varepsilon_t εt为独立的标准正态随机变量序列,即 ε t ∼ N ( 0 , 1 ) \varepsilon_t \sim N(0,1) εtN(0,1)

那么,有了以上的基础,假设当前时刻为0,当前股价为 P 0 P_0 P0,到期时间为 T T T,我们通过产生一个独立正态随机变量序列 { ε 1 , . . . , ε T } \{\varepsilon_1,...,\varepsilon_T\} {ε1,...,εT},利用上式公式模拟最终时刻的股票价格 P T P_T PT。在实践中, P T P_T PT是随机数值,我们把上面的产生过程重复 N N N次,再把这 N N N P t P_t Pt的平均值作为其期望,也就是 E ( P T ∣ F t ) = ∑ i = 1 N P T ( i ) / N E(P_T|F_t)=\sum_{i=1}^NP_T^{(i)}/N E(PTFt)=i=1NPT(i)/N这里的上标(i)表示的是第i次的模拟终值。

如果再假设波动率不定,可因引入GARCH(1,1)模型下波动率可做进一步调整
δ t 2 = α 0 + α 1 δ t − 1 2 ε t − 1 2 + β 1 δ t − 1 2 \delta_t^2=\alpha_0 + \alpha_1\delta_{t-1}^2\varepsilon_{t-1}^2+\beta_1\delta_{t-1}^2 δt2=α0+α1δt12εt12+β1δt12

结语

以上就是今天介绍的所有内容啦~虽然看起来公式略多但是基本思想都是基于金融数据的统计规律!量化需要理论加实践,知识加经验,希望大家都不断进步,每天都有所收获~

参考文献

  • Ruey S.Tasy; An introduction to Analysis of Financial Data with R; 2013.10

  • 茆诗松, 程依明, 濮晓龙; 概率论与数理统计; 2011.2


http://chatgpt.dhexx.cn/article/aFIX5Yi0.shtml

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