工具变量法

内生性

在线性回归：
$$y_i=x_i^{\prime }\beta +u_i$$
中，如果 $E(x_i{u}_i)\ne 0$ ，那么便存在内生性。

内生性产生的原因：同时的因果关系或联立方程（Simultaneous causality）、缺失变量（Omitted variables）、变量测量误差（Errors in variables）等等。

Simultaneous causality

案例：供求问题

定义 $p_i=ln{P}_i,q_i=ln{Q}_i$，需求方程为：
$$q_i={\gamma }_0+{\gamma }_1{p}_i+u_i$$
这里 $u_i$ 代表价格以外的影响需求的因素，比如收入和消费者喜好。供给方程为：
$$q_i={\delta }_0+{\delta }_1{p}_i+v_i$$
这里 $v_i$ 代表其他影响供给的因素。解上述联立方程，得到：
$$\begin{gathered} p_i=\frac{{\delta }_0-{\gamma }_0}{{\gamma }_1-{\delta }_1}+\frac{v_i-u_i}{{\gamma }_1-{\delta }_1} \\ {q}_i=\frac{{\gamma }_1{\delta }_0-{\gamma }_0{\delta }_1}{{\gamma }_1-{\delta }_1}+\frac{{\gamma }_1{v}_i-{\delta }_1{u}_i}{{\gamma }_1-{\delta }_1} \end{gathered}$$
假设 $Cov(u_i.v_i)=0$，我们有：
$$Cov(p_i,u_i)=-\frac{Var(u_i)}{{\gamma }_1-{\delta }_1},Cov(p_i,v_i)=\frac{Var(v_i)}{{\gamma }_1-{\delta }_1}$$
解上述联立方程的斜率项：
$$\begin{gathered} \frac{Cov(p_i,q_i)}{Var(p_i)}={\gamma }_1+\frac{Cov(p_i,u_i)}{Var(p_i)}={\delta }_1+\frac{Cov(p_i,v_i)}{Var(p_i)} \\ ({\gamma }_1-{\delta }_1{)}^{2}Var(p_i)=Var(v_i)+Var(u_i) \\ \frac{Cov(p_i,q_i)}{Var(p_i)}={\gamma }_1-\frac{Var(u_i)}{Var(p_i)({\gamma }_1-{\delta }_1)}={\gamma }_1-\frac{Var(u_i)({\gamma }_1-{\delta }_1)}{Var(v_i)+Var(u_i)}=\frac{{\gamma }_{1}Var(v_i)+{\delta }_{1}Var(u_i)}{Var(v_i)+Var(u_i)}\in ({\gamma }_1,{\delta }_1) \end{gathered}$$
我们不能得到真正的需求或供给弹性，而是它们的加权平均。这种偏差称为联立方程偏差（simultaneous equations bias）。

Omitted Variables

考虑一个简单的工资方程：
$$log(wage)={\beta }_0+{\beta }_{1}educ+{\beta }_{2}abli+e$$
能力 $Abli$ 很难去度量，所以方程可能估计错误。如果仅仅忽略能力 $Abli$ ，将其作为误差项的一部分：
$$log(wage)={\beta }_0+{\beta }_{1}educ+u$$
很明显的，能力 $Abli$ 和教育 $Educ$ 是相关的，所以OLS会因为内生性产生有偏不一致的估计。

Errors in Variables

在一个横截面数据集中，我们有：
$$C_i^{+}=k{Y}_i^{+},o<k<1$$
在现实生活中，$C_i=C_i^{+}+c_i,Y_i=Y_i^{+}+y_i$，这里 $c_i,y_i$ 是测量误差，并且彼此独立，且与 $C_i^{+},Y_i^{+}$ 独立，所以有
$$\begin{gathered} C_i=k{Y}_i+u_i,u_i=c_i-k{y}_i \\ \hat{k}=\frac{E(Y_i{C}_i)}{E(Y_i^2)}=\frac{kE((Y_i^{+}{)}^2)}{E((Y_i^{+}{)}^2)+E(y_i^2)}<k \end{gathered}$$

其他原因

样本选择问题、函数形式的设定错误

工具变量法的基本想法

假设我们有
$$Y_i=\alpha +\tau A_i+\gamma U_i+{\eta }_i$$
$U$ 是不可观测的。误差项为 $\gamma U_i+{\eta }_i$，$E[A_i(\gamma U_i+{\eta }_i)]=0$ 不满足。

工具变量法的构造（Z$\to$A)。First-stage relationship: Z affects A.
$$\begin{gathered} Cov(\gamma U_i+{\eta }_i,Z_i)=0 \\ Cov(Y_i,Z_i)=Cov(\alpha +\tau A_i+\gamma U_i+{\eta }_i,Z_i)=\tau Cov(A_i,Z_i) \\ \tau =\frac{Cov(Y_i,Z_i)}{Cov(A_i,Z_i)}=\frac{Cov(Y_i,Z_i)/Var(Z_i)}{Cov(A_i,Z_i)/Var(Z_i)}=\frac{C_{reduce-form}}{C_{first-stage}} \end{gathered}$$
若对于不同的i，有不同的 $\tau$，则引入一个二值变量$D:D=0orD=1$
$$Y_i^0:whenD=0;Y_i^1:whenD=1$$
我们可以得到 causal effect/treatment effect for person i:$Y_i^1-Y_i^0$。

average causal effect/average treatment effect: ATE=$E[Y^1-Y^0]$。

但是 $Y^1、Y^0$ 无法同时观测到，故我们采用：
$$\begin{gathered} Y=D\ast Y^1+(1-D)\ast Y^0，D是随机的 \\ E(Y|D=1)=E(Y^1|D=1)=E(Y^1) \\ E(Y|D=0)=E(Y^0|D=0)=E(Y^0) \\ E(Y|D=1)-E(Y|D=0)=E(Y^1-Y^0)=ATE \end{gathered}$$
但大多数情况，会有选择问题：$Y^1$ 在D=1的人群中的分布与在所有人群中的分布不同：
$$\begin{gathered} Y=D\ast Y^1+(1-D)\ast Y^0，D是随机的 \\ E(Y|D=1)=E(Y^1|D=1)\ne E(Y^1) \\ E(Y|D=0)=E(Y^0|D=0)\ne E(Y^0) \\ E(Y|D=1)-E(Y|D=0)\ne E(Y^1-Y^0)=ATE \end{gathered}$$
为了解释工具变量在潜在结果框架中的作用，我们需要6个假设:

1、$Z\in 0,1,D\in 0,1$.

2、$Y=D\ast Y^1+(1-D)\ast Y^0$.

3、$D=Z\ast D^1+(1-Z)\ast D^0$.

4、No defiers.$D^1\ge D^0$.

5、$Z\perp (Y^0,Y^1,D^0,D^1)$.

6、$Cov(Z,D)\ne 0$.

在上述假设下，IV估计量就等于local average treatment effect(LATE)

LATE theorem:
$$\frac{Cov(Z,Y)}{Cov(Z,D)}=\frac{E(Y|Z=1)-E(Y|Z=0)}{E(D|Z=1)-E(D|Z=0)}=E(Y^1-Y^0|D^1>D^0)$$
第一部分证明：
$$\begin{gathered} Cov(Z,Y)=E(YZ)-E(Y)E(Z)=E(Y|Z=1)\ast E(Z)-(E(Y|Z=1)\ast E(Z)+E(Y|Z=0)\ast E(1-Z))\ast E(Z) \\ =(E(Y|Z=1)-E(Y|Z=1)\ast E(Z)+E(Y|Z=0)E(1-Z))\ast E(Z)=(E(Y|Z=1)-E(Y|Z=0))\ast E(1-Z)E(Z) \\ 同样的，Cov(Z,D)=(E(D|Z=1)-E(D|Z=0))\ast E(1-Z)\ast E(Z) \\ 所以，\frac{Cov(Z,Y)}{Cov(Z,D)}=\frac{E(Y|Z=1)-E(Y|Z=0)}{E(D|Z=1)-E(D|Z=0)} \end{gathered}$$
第二部分证明：
$$\begin{gathered} E(Y|Z=1)=E(Y|Z=1,NT)\ast P(NT|Z=1)+E(Y|Z=1,C)\ast P(C|Z=1)+E(Y|Z=1,AT)\ast P(AT|Z=1) \\ =E(Y^0|NT)\ast P(NT)+E(Y^1|C)\ast P(C)+E(Y^1|AT)\ast P(AT) \\ 同样的，E(Y|Z=0)=E(Y^0|NT)\ast P(NT)+E(Y^0|C)\ast P(C)+E(Y^1|AT)\ast P(AT) \\ 所以，E(Y|Z=1)-E(Y|Z=0)=(E(Y^1|C)-E(Y^0|C))\ast P(C) \\ E(D|Z=1)-E(D|Z=0)=E(D^1)-E(D^0)=P(C)+P(AT)-P(AT)=P(C) \\ 所以，\frac{E(Y|Z=1)-E(Y|Z=0)}{E(D|Z=1)-E(D|Z=0)}=(E(Y^1|C)-E(Y^0|C))=E(Y^1-Y^0|D^1>D^0) \end{gathered}$$

多个工具变量

如果我们有两个工具变量，就会有两个不同的LATEs，${\rho }_{1}for{Z}_{1}and{\rho }_{2}for{Z}_2$。我们可以使用2SLS来估计这些工具变量的总体效果。

在Angrist and Pischke的研究中，他们展示了用两个工具变量的两个LATEs的加权和来定义2SLS的估计量：
$$\begin{gathered} {\rho }_{2SLS}=\psi {\rho }_1+(1-\psi ){\rho }_2 \\ \psi =\frac{{\pi }_{1}Cov(A,Z_1)}{{\pi }_{1}Cov(A,Z_1)+{\pi }_{2}Cov(A,Z_2)} \end{gathered}$$
这里的 ${\pi }_1,{\pi }_2$ 是IV第一阶段(first stage)Z的系数。

因此，2SLS估计是每个工具因果效应的加权平均值，其中的权重与每个工具的第一阶段效应的预测强度有关。