Lasso回归/岭回归的原理
在学习L1，L2正则化的作用和区别时，我们总是会看到这样的一副图片：
这幅图片形象化地解释了L1，L2对线性模型产生的不同的约束效果。
我最开始其实是不太理解为什么要这么画的。比如
1、L1范数(L1-norm)等值线一定会和平方误差项等值线相交于某一坐标轴吗？
2、Lasso回归只能用平方和误差作为损失吗，换成交叉熵可以吗？
3、除了L1-norm，L2-norm，还有没有别的正则化方法，他们的区别是什么？
见我的另一篇博客Lasso回归系列三：机器学习中的L0, L1, L2, L2,1范数
现在算是搞明白了，结合网上很不错的几篇博客，再梳理一下，分享给大家，如有不足或者错误，请多多指正。
概述
使用L1正则化项的回归模型被称作Lasso回归(Lasso Regression)，使用L2正则化项的回归模型被称作岭回归(Ridge Regression)。
所以只要是回归问题中加入L1正则项，都可以称为Lasso回归，并非只限于使用平方和误差作损失的情况。
在本文中，首先，我们会了解在使用最小二乘估求解线性回归问题时，加入L1-norm的Lasso回归，加入L2-norm的岭回归会使求解发生哪些变化，从而更好地理解如何使用Lasso回归和岭回归。
线性模型的最小二乘估
在对线性模型进行参数估计时，可以使用最小二乘法。
用数学语言来描述，线性模型可以表示为：
y = X β + ϵ E ( ϵ ) = 0 , C o v ( ϵ ) = σ 2 I y = X\beta +\epsilon \\E(\epsilon)=0, Cov(\epsilon) = \sigma^2 I y=Xβ+ϵE(ϵ)=0,Cov(ϵ)=σ2I
其中 y y y 是 n × 1 n \times 1 n×1的标签向量， X X X 是 n × p n \times p n×p的特征矩阵(对应到数据上， n n n是样本数， p p p是特征数量) ， β \beta β ， ϵ \epsilon ϵ是要估计的参数， β \beta β 是 p × 1 p \times 1 p×1的未知参数向量， ϵ \epsilon ϵ 是随机误差。
最小二乘法是估计参数向量 β \beta β 的基本方法，其思想是让误差尽可能得小，也即$\epsilon = y- X\beta $ 尽可能得小，也即是使
Q ( β ) = ∣ ∣ ϵ ∣ ∣ 2 = ∣ ∣ y − X β ∣ ∣ 2 = ( y − X β ) T ( y − X β ) Q(\beta) = ||\epsilon||^2 = ||y-X\beta||^2 = (y-X\beta)^T(y-X\beta) Q(β)=∣∣ϵ∣∣2=∣∣y−Xβ∣∣2=(y−Xβ)T(y−Xβ)
尽可能得小。
根据凸函数极小值就是最小值的定理，我们可以通过求得偏导等于0处的 β \beta β 值，使得上式达到最小值，即：
β ^ = ( X T X ) − 1 X T y \hat\beta = (X^TX)^{-1}X^Ty β^=(XTX)−1XTy
结合矩阵论中的知识，当 r a n k ( X ) = p rank(X)=p rank(X)=p 时， X T X X^TX XTX 可逆，这时 β \beta β 有唯一解，$\hat\beta = \beta $，称 $ \hat\beta $ 是 $ \beta $ 的无偏估计；当 r a n k ( X ) < p rank(X)<p rank(X)<p 时， X X X 矩阵不满秩，此时我们无法得到$ \beta $ 的无偏估计，而导致 r a n k ( X ) < p rank(X)<p rank(X)<p 的原因一般有两种：1、样本数小于特征数量，2、即使样本数较多，但变量(特征)之间存在线性关系，Lasso回归和Ridge(岭回归)就是用来解决这一问题的。
Lasso回归和Ridge回归
Lasso回归(lasso regression)是在目标函数后加一个权重 β \beta β 的1-范数（机器学习中的范数定义不同于数学中的定义，具体定义请看【https://xiongyiming.blog.csdn.net/article/details/81673491】），即：
Q ( β ) = ∣ ∣ y − X β ∣ ∣ 2 2 + λ ∣ ∣ β ∣ ∣ 1 ⟺ arg min ∣ ∣ y − X β ∣ ∣ 2 s . t . ∑ ∣ β j ∣ ≤ s Q(\beta) = ||y-X\beta||^2_2 + \lambda ||\beta||_1 \\ \quad \iff \\ \arg \min ||y-X\beta||^2 \quad s.t. \sum |\beta_j| \leq s Q(β)=∣∣y−Xβ∣∣22+λ∣∣β∣∣1⟺argmin∣∣y−Xβ∣∣2s.t.∑∣βj∣≤s
岭回归(ridge regression)是在目标函数后加一个权重 β \beta β 的2-范数，即：
Q ( β ) = ∣ ∣ y − X β ∣ ∣ 2 2 + λ ∣ ∣ β ∣ ∣ 2 ⟺ arg min ∣ ∣ y − X β ∣ ∣ 2 s . t . ∑ β j 2 ≤ s Q(\beta) = ||y-X\beta||^2_2 + \lambda ||\beta||_2 \\ \quad \iff \\ \arg \min ||y-X\beta||^2 \quad s.t. \sum \beta_j^2 \leq s Q(β)=∣∣y−Xβ∣∣22+λ∣∣β∣∣2⟺argmin∣∣y−Xβ∣∣2s.t.∑βj2≤s
对上式求解，可以得到 β \beta β 的岭估计：
β ^ ( λ ) = ( X T X + λ I ) − 1 X T y \hat\beta(\lambda) = (X^TX+\lambda I)^{-1}X^Ty β^(λ)=(XTX+λI)−1XTy
这样确保 X T X + λ I X^TX+\lambda I XTX+λI 满秩，可逆，当然此时的 β ^ ( λ ) \hat\beta(\lambda) β^(λ) 是一个有偏估计。
Lasso回归为什么更容易产生稀疏解？
我们再看下这幅图：
平方误差等值线即 Q ( β ) = ∣ ∣ y − X β ∣ ∣ 2 Q(\beta) = ||y-X\beta||^2 Q(β)=∣∣y−Xβ∣∣2 对应的等势线
Lasso回归对应L1范数等值线，Ridge回归对应L2范数等值线，两者均通过正则项参数 λ \lambda λ 来调节对参数 β \beta β 的约束程度。
Lasso回归容易产生稀疏解，是因为L1范数包含了一些在坐标轴上的不可微的角点（non-differentiable corner ），这些角点和 Q ( β ) = ∣ ∣ y − X β ∣ ∣ 2 Q(\beta) = ||y-X\beta||^2 Q(β)=∣∣y−Xβ∣∣2 相交的概率会大很多。而在Ridge回归中，L2范数是处处可微的，所以和 Q ( β ) = ∣ ∣ y − X β ∣ ∣ 2 Q(\beta) = ||y-X\beta||^2 Q(β)=∣∣y−Xβ∣∣2在坐标轴上相交的概率会小很多。
此外，对于L1范数来说， λ \lambda λ 越大， ∣ ∣ β ∣ ∣ 1 ||\beta||_1 ∣∣β∣∣1 的范围越小，平方误差等值线和L1范数等值线在坐标轴上相交的概率就越大，也就是说 β \beta β 中的元素变成0的概率越大。反之， β \beta β 中的元素变成0的概率则越小。
参考
L1,L2正则化方法
Lasso—原理及最优解
