同余定理

  我们在《密码学学习笔记二：RSA加密法》里面提到过同余，此处把同余作为补充知识，单独写一篇文章讲解一下。

  同余定理是数论中的重要概念。给定一个正整数m，如果两个整数a和b满足（a-b）能够被m整除，即（a-b）/m得到一个整数，那么就称整数a与b对模m同余，记作a≡b(mod m)。

  举个例子,a=7,b=4,m=3.a≡b(mod m)，因为7 mod 3=1;4 mod 3=1;并且（7-4）/ 3 = 1，能被3整除。
  那么在上一节RSA加密算法中，
  （1）公钥（e,N）=(3,33);
  （2）私钥

又因为e≡e(mod f(N))肯定成立；
所以，根据同余定理的性质同乘性：
  若a ≡ b(mod m)，则 a * c ≡ b * c(mod m)
  若a ≡ b(mod m)，c ≡ d(mod m)，则 a * c ≡ b * d(mod m)
  所以，可以得出 e×d≡1 mod f(N)；
  显而易见，不管f(n)取什么值，符号右边1 mod f(n)的结果都等于1；符号的左边d与e的乘积做模运算后的结果也必须等于1。
穷举，求出d = 7;

  私钥（d,N）=(7,33);
（3）加密：假设要加密的密文m = 5；公钥（e,N）=(3,33);

C ≡ 5^3 mod 33
因此（125-C）/ 33 可以整除，当商为3时，C= 26；
因此被加密过的信息为26。
（4）解密，私钥（d,N）=(7,33);C = 26

m ≡ 26^7 mod 33
因此 （26^7 - m ）/ 33 可以整除，商为243388186时，同理求得m = 5.
至此，整个RSA加解密的过程结束。