多普勒频率的推导
多普勒频移反映了雷达回波信号的相位变化，由于相对运动产生了多普勒频移。关于多普勒频率的推导这里参考《脉冲多普勒雷达》，推导方法简明扼要。
雷达信号在距离 2 R 2R 2R( R R R为雷达和目标间的单程距离)处的相移由下式给出(忽略从目标反射时的任何相位变化)：
φ = 2 R 2 π λ ( 1.1 ) \varphi=2R\frac{2\pi}{\lambda} \quad \quad \quad (1.1) φ=2Rλ2π(1.1)
其实上式写成这种形式应该更好理解：
φ = 2 π 2 R λ ( 1.2 ) \varphi=2\pi \textcolor{red}{\frac{2R}{\lambda}} \quad \quad \quad (1.2) φ=2πλ2R(1.2)
一个波长的相位为 2 π 2\pi 2π，往返的距离与波长之比乘以一个波长的相位就可以得到往返距离回波的相移。对连续波雷达而言，对式1.2关于时间取一阶导数就能得到多普勒频移：
φ ˙ = 2 R ˙ 2 π λ ( 1.3 ) \dot\varphi=2\dot R\frac{2\pi}{\lambda}\quad \quad \quad (1.3) φ˙=2R˙λ2π(1.3)
式1.3中 φ ˙ = d φ d t = ω d \dot\varphi=\frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}t}=\omega_d φ˙=dtdφ=ωd是多普勒的角频率， R ˙ = d R d t = V r \dot{R}=\frac{\text{d}R}{\text{d}t}=V_r R˙=dtdR=Vr是相对速度。，由于 ω d = 2 π f d \omega_{d}=2\pi f_{d} ωd=2πfd,其中 f d f_d fd就是多普勒频率：
f d = 2 V r λ ( 1.4 ) \textcolor{red}{f_d=\frac{2V_r}{\lambda}}\quad \quad \quad (1.4) fd=λ2Vr(1.4)
从脉冲雷达的角度来看，若脉冲雷达能够在一连串相参脉冲的每个连续脉冲上捕获相位的变化，那么也可以得到式(1.4)。这是值得我们考虑的，因为这将建立起脉冲多普勒雷达及其处理方式的关键特征，即当目标以恒定速度运动时，连续脉冲间的相位差是固定的。
在脉冲1和脉冲2之间的时间间隔内，目标已向前运动了一段距离 d d d。由于连续脉冲的时间间隔为脉冲重复间隔 ( P R I ) = T r ( = 1 / f r ) (PRI)=T_r(=1/f_r) (PRI)=Tr(=1/fr),所以根据速度=距离/时间，可得:
V r = d T r = d f r ( 1.5 ) V_r=\frac{d}{T_r}=df_r\quad \quad \quad (1.5) Vr=Trd=dfr(1.5)
两个连续的回波脉冲之间的相位差为:
Δ φ = 2 d 2 π λ ( 1.6 ) \Delta\varphi=2d\frac{2\pi}{\lambda}\quad \quad \quad (1.6) Δφ=2dλ2π(1.6)
该相位差是在时间间隔 T r = 1 / f r T_r=1/f_r Tr=1/fr上发生的。因此，相位变化率=相位差/时间间隔。此相位变化率就是多普勒角频率，即
ω d = Δ φ T r = Δ φ f r = 2 d 2 π f r λ ( 1.7 ) \omega_{d}={\frac{\Delta\varphi}{T_{r}}}=\Delta\varphi f_{r}={\frac{2d2\pi f_{r}}{\lambda}}(1.7) ωd=TrΔφ=Δφfr=λ2d2πfr(1.7)
整理上式可得到多普勒频率为
f d = ω d 2 π = 2 d f r λ f_{d}=\frac{\omega_{d}}{2\pi}=\frac{2d f_{r}}{\lambda} fd=2πωd=λ2dfr
将式1.5代入上式就可以得到 f d = 2 V r λ f_{d}=\frac{2V_{r}}{\lambda} fd=λ2Vr。
