引言：
多普勒效应（doppler effect）与多普勒偏移（doppler shift）代表相同含义，只是在文献中表达不同。
产生原因：
波源和观察者之间速度的相对差异是产生多普勒效应的原因
原理：
第一种表示形式：
当波源与观测者以速度 v v v做相对运动时，有
f r = f t ( 1 + v / c 1 − v / c ) = f t ( c + v c − v ) f_r=f_t\left(\frac{1+v / c}{1-v / c}\right)=f_t\left(\frac{c+v}{c-v}\right) fr=ft(1−v/c1+v/c)=ft(c−vc+v)
其中， f r f_r fr是观测者接受到的频率， f t f_t ft是波源的频率， c c c代表光速
多普勒频移 f d f_d fd可以表示为：
f d = f r − f t = 2 v f t ( c − v ) f_d=f_r-f_t=2 v \frac{f_t}{(c-v)} fd=fr−ft=2v(c−v)ft
由于 v ≪ c v \ll c v≪c，因此多普勒频移 f d f_d fd可以约等于成：
f d ≈ 2 v f t c f_d \approx 2 v \frac{f_t}{c} fd≈2vcft
第二种表示形式：
波源静止，当接收端以恒定的速率 v v v 在长度为d，端点为 X和 Y的路径上运动时收到来自波源 S发出的信号，无线信号从波源S出发，在X点与Y点被接收端接收时所走的路径差可近似表示为:
Δ l = d ⋅ cos Θ = v ⋅ Δ t ⋅ cos Θ \Delta \mathrm{l}=\mathrm{d} \cdot \cos \Theta=v \cdot \Delta \mathrm{t} \cdot \cos \Theta Δl=d⋅cosΘ=v⋅Δt⋅cosΘ
每个波长对应 2 π r a d 2 \pi \mathrm{rad} 2πrad 的相位变化，由于路程差造成的接收端信号相位变化值为:
Δ φ = 2 π ⋅ Δ l λ = 2 π ⋅ v ⋅ Δ t λ ⋅ cos Θ \Delta \varphi=2 \pi \cdot \frac{\Delta \mathrm{l}}{\lambda}=2 \pi \cdot \frac{v \cdot \Delta \mathrm{t}}{\lambda} \cdot \cos \Theta Δφ=2π⋅λΔl=2π⋅λv⋅Δt⋅cosΘ
求相位和时间的导数，可得到相位随时间的变化率，即角频率 w \mathrm{w} w 为:
w = Δ φ Δ t = 2 π ⋅ v λ ⋅ cos Θ \mathrm{w}=\frac{\Delta \varphi}{\Delta \mathrm{t}}=2 \pi \cdot \frac{v}{\lambda} \cdot \cos \Theta w=ΔtΔφ=2π⋅λv⋅cosΘ
多普勒频移与角频率的关系为: w = 2 π f d w=2 \pi \mathrm{f}_{\mathrm{d}} w=2πfd
即 f d = 1 2 π ⋅ w = v λ ⋅ cos Θ \text { 即 } f_d=\frac{1}{2 \pi} \cdot \mathrm{w}=\frac{v}{\lambda} \cdot \cos \Theta 即 fd=2π1⋅w=λv⋅cosΘ
波长与频率之间的关系式为：
c = λ ⋅ f t \mathrm{c}=\lambda \cdot \mathrm{f_t} c=λ⋅ft
所以多普勒频移的关系式也可以是这样：
f d = 1 2 π ⋅ w = f t ⋅ v c ⋅ cos Θ \mathrm{f}_{\mathrm{d}}=\frac{1}{2 \pi} \cdot \mathrm{w}=\frac{\mathrm{f_t} \cdot v}{\mathrm{c}} \cdot \cos \Theta fd=2π1⋅w=cft⋅v⋅cosΘ
无线感知中的应用
当人在环境中移动时，人体反射信号的路径长度会发生相应的变化，这会在反射信号的载波频率上引入多普勒频移：
f d = f v path c f_{\text {d }}=f \frac{v_{\text {path }}}{c} fd =fcvpath
其中， f f f代表信号载波的中心频率， v path v_{\text {path }} vpath 代表路径长度变化的速度(小问题：这个速度是否约等于人体移动的速度)， c c c代表光速
注意：对于5GHz的WiFi信号，例如64信道，其中心频率为5.32GHz，那么人体行走的最大速度1.5m/s，则 f d f_{\text {d }} fd 约等于27Hz。从大得多的载波频率中检测出如此细微的多普勒频移是很困难的。有问题待修正……
幸运的是，商品 Wi-Fi 设备上可用的 CSI 信息可以仅用几百赫兹的采样率来估计多普勒频移。对于 Wi-Fi 信号，CSI 表示信号从发射器到接收器每个子载波的幅度衰减和相位变化，我们可以通过相位的变化推导多普勒频移。
仅考虑一个入射信号，CSI在 t 0 t_0 t0可以表示为：
x ( f , t 0 ) = A 0 e − j 2 π f τ 0 x\left(f, t_0\right)=A_0 e^{-j 2 \pi f \tau_0} x(f,t0)=A0e−j2πfτ0
其中， A 0 A_0 A0代表幅度衰减， τ 0 \tau_0 τ0代表时延，即信号从发射端到接收端传播的时间
如果传播路径长度以 v v v的速度变化，而我们忽略幅度衰减变化，则经过短时间 t t t后，路径长度变化 Δ l path = v t \Delta l_{\text {path }}=v t Δlpath =vt，时延变化 Δ τ = v t c \Delta \tau=\frac{v t}{c} Δτ=cvt，此时CSI可以表示为：
x ( f , t 0 + t ) = A 0 e − j 2 π f ( τ 0 + v t c ) = x ( f , t 0 ) e − j 2 π f v t c x\left(f, t_0+t\right)=A_0 e^{-j 2 \pi f\left(\tau_0+\frac{v t}{c}\right)}=x\left(f, t_0\right) e^{-j 2 \pi f \frac{v t}{c}} x(f,t0+t)=A0e−j2πf(τ0+cvt)=x(f,t0)e−j2πfcvt
其中的 f v c f \frac{v}{c} fcv即代表多普勒频移。
对于多个入射信号，CSI可以表示为：
x ( f , t 0 + t ) = ∑ i = 1 L A i e − j 2 π f ( τ i + v i t c ) , x\left(f, t_0+t\right)=\sum_{i=1}^L A_i e^{-j 2 \pi f\left(\tau_i+\frac{v_i t}{c}\right)}, x(f,t0+t)=i=1∑LAie−j2πf(τi+cvit),
其中， L L L代表路径个数, τ i \tau_i τi代表 t 0 t_0 t0时刻第 i th i^{\text {th }} ith 条路径传播时延, v i v_i vi 代表第 i th i^{\text {th }} ith 条路径变换的速度。第 i th i^{\text {th }} ith 条路径的多普勒频移即 ( f v i c ) \left(f \frac{v_i}{c}\right) (fcvi)。因此，如果 CSI 的采样率大于最大多普勒频移的两倍，我们就可以得到每个路径信号的多普勒频移。对于步行速度，CSI所需的采样率在几百赫兹以下，这在商品Wi-Fi设备上很容易实现。
体现到CSI数据上
对CSI做STFT，得到多普勒频移，根据公式 f d = f v path c f_{\text {d }}=f \frac{v_{\text {path }}}{c} fd =fcvpath ，得到 v path v_{\text {path }} vpath
参考文献
IndoTrack: Device-Free Indoor Human Tracking with Commodity Wi-Fi
