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人物介绍

克里斯蒂安·安德烈亚斯·多普勒（Christian Andreas Doppler，1803年11月29日－1853年3月17日）多普勒效应发现者，奥地利数学家、物理学家。出生于奥地利萨尔茨堡的一个石匠家族，曾在维也纳工学院学习。1841年成为布拉格理工学院的数学教授，1850年，多普勒担任维也纳大学物理学院的首任院长，1853年在意大利的威尼斯去世，终年49岁。

现象

多普勒效应（Doppler effect）是波源与观察者有相对运动时，观察者接受到波的频率与波源发出的频率并不相同的现象。生活中比较常见的例子是远方急驶过来的火车鸣笛声变得尖细（即频率变高，波长变短），而离我们而去的火车鸣笛声变得低沉（即频率变低，波长变长），这就是多普勒效应现象，同样的现象也发生在私家车鸣响与火车的敲钟声，音频参见[声的多普勒效应]。而关于频率和波长的直观感受如下图所示（来自wiki）。

历史

多普勒效应是由奥地利物理学家于1842年首次提出，其后由 Buys Ballot在声波中验证，而后1848年Hippolyte Fizeau独立在电磁波发现了相同的现象，同年John Scott Russell 对多普勒效应进行了实验研究。目前该效应广泛应用于天文、雷达及医疗等领域。

公式

观察者和发射源的频率关系为：
$$f^{{}^{\prime }}=(\frac{v\pm v_o}{v\mp v_s})f$$
其中，$f^{{}^{\prime }}$为观察到的频率；$f$为发射源于该介质中的原始发射频率；$v$为波在该介质中的行进速度；$v_o$为观察者相对于介质的移动速度，若接近发射源则前方运算符号为$+$号，反之为$-$号；$v_s$为发射源相对与介质的移动速度，若接近观察者则前方运算符号为$-$号，反之为$+$号。

证明

本文仅介绍在传统物理学（即不考虑相对论带来的效应）中采用雷达探测的基本原理证明上述多普勒公式，此处参见[雷达基础知识—运动目标的多普勒频率]。雷达的工作原理是发射一些无线电脉冲来探测目标，并通过测量接受回波的信号延迟来推算目标的距离，即延迟时间为脉冲走过的双程距离除以其传播速度。事实上可以更进一步，雷达也可以通过多普勒效应来捕捉运动目标的多普勒频率，从而准确反演出其运动速度，所以对于雷达来说，运动目标的多普勒频率具体是如何产生的，并且它与目标速度以及雷达工作频率之间究竟有什么数学关系呢？

假设雷达以特定的频率发射脉冲，如果这个脉冲遇到了一个朝它运动的目标并反射回来，那么脉冲波形就会被压缩得更紧。这就意味着回波信号相对于发射信号除了存在时延以及强度变弱之外，其载波频率也会有一定得升高。这就表明我们可以通过捕捉载波频率的微弱变化来完成对运动目标的速度提取。

为简单起见，假设目标以速度$v$相对于雷达做径向运动，雷达发射宽度为$\tau$的电磁脉冲，其在自由空间中按照光速$c$进行传播，假设在$t_0$时刻雷达脉冲前沿恰好目标，由于雷达脉冲宽度为$\tau$因此此时雷达脉冲后沿在空间上滞后前沿的距离为$L=c\tau$，而后雷达脉冲前沿会经目标反射后开始反向传播，而雷达脉冲的后沿和运动目标，则分别按照各自既定的速度继续前进在经历一小段$\Delta t$时间后，它们将于$t_1$时刻在空间相遇。在此段时间内，反射的脉冲前沿与后延一样也会行进相同的距离$c\Delta t$，将共同构成发射脉冲的时间边界而且从图中可以明显看出发射脉冲的确被运动目标压缩的更窄了。我们假设其新的脉冲宽度为${\tau }^{{}^{\prime }}$。

通过图重简单的距离关系得到如下两个方程式：
$$\begin{gathered} c\tau =c\Delta t+v\Delta t \\ c{\tau }^{{}^{\prime }}=c\Delta t-v\Delta t \end{gathered}$$
将两式相除即可得到脉冲宽度被压缩的比率为
$$\frac{\tau }{{\tau }^{{}^{\prime }}}=\frac{c+v}{c-v}\text{\hspace{1em}(1)}$$
由此式可得脉冲压缩比大于1，并且运动目标速度越大，脉冲压缩越剧烈。为了一般性讨论，我们假设原始脉冲宽度恰好包含了$N$个整数振荡周期。因此按照频率的定义即单位时间内振荡的周期数，我们可以得到其载波频率为
$$f=\frac{N}{\tau }\text{\hspace{1em}(2)}$$
而脉冲内载波的振荡周期数目绝不会因为脉冲宽度被压缩而发生改变，因此可以得到反射脉冲的信号频率为
$$f^{{}^{\prime }}=\frac{N}{{\tau }^{{}^{\prime }}}\text{\hspace{1em}(3)}$$
将（3）中的${\tau }^{{}^{\prime }}$用$\tau$、$c$以及$v$来表示便得到
$$f^{{}^{\prime }}=\frac{N}{{\tau }^{{}^{\prime }}}=\frac{N}{\tau }\frac{c+v}{c-v}=\frac{c+v}{c-v}f$$
因此证明完毕。

不过这表明反射信号的频率会按照同样的脉宽压缩比升高，由此可以预计其与发射信号频率的差值，正是由运动目标的多普勒频率即
$$f_d=f^{{}^{\prime }}-f=(\frac{c+v}{c-v}-1)f=\frac{2v}{c-v}f\cong \frac{2v}{c}f=\frac{2v}{\lambda }$$
由此可得三个结论：
1、目标径向速度越大，多普勒频率越高。
2、雷达工作波长越短，多普勒频率越高。
3、通过测量多普勒频率可以计算目标的速度：$v=\frac{\lambda f_d}{2}$。

需要注意的是其中的2是因为波束的往返，与通信中常用的最大多普勒频移的不同。

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参考文献

[1] https://en.wikipedia.org/wiki/Doppler_effect
[2]https://www.bilibili.com/video/BV1634y1o7EZ?spm_id_from=333.337.search-card.all.click