Petri网学习（四）：Petri网的结构性质

article/2025/10/31 19:43:01

一、结构有界性&守恒性

1. 结构有界性

定义：设N=(P,T;F)为一个网。对N赋予任意的初始标识M0，网(N,M0)都是有界的，则称N为结构有界网；

再回忆一下什么是有界petri网：在PN=(P,T;F,M0)中， $\forall p\in P$ ，库所p都有界，则称PN为有界petri网。区别在于是不是任意初始标识
什么是库所有界： $\forall M\in R(M_0),M(p)\leqslant B$

定理：设A为网N=(P,T;F)的关联矩阵，N是结构有界网的充分必要条件是：存在一个m（m=|P|）维正整数向量Y，使得AY<=0

证明充分性思路：要证明一个网是结构有界网，则要证明 $\forall M_0,\forall M\in R(M_0):M(k)\leqslant$ 一个正整数

定义：设N=(P,T;F)为一个网， $P_1\subseteq P$ ，对于 $\forall M_0$ ， $\forall p\in P_1$ 的p都是有界的，则称P1为N的结构有界库所子集。当P1={p}时，称库所p是结构有界的。若p不是结构有界的，则称p为结构无界库所。

定理：设A为网N=(P,T;F)的关联矩阵， $P_1\subseteq P$ 是网N的结构有界库所子集的充分必要条件是：存在非平凡的非负整数向量Y，使得AY<=0，且 $\forall p_i\in P,Y(p_i)>0$

2. 守恒性

定义：设N=(P,T;F)为一个网，如果存在一个m(m=|P|)维正整数权向量Y，使得对于任意初始标识M0， $\forall M\in M_0$ ，有：

$\sum_{i=1}^m M(p_i)Y(i)=\sum_{j=1}^m M_0(p_j)Y(j)$ ，则N是守恒的；特别的,当Y=[1,1,...,1]时， $\sum_{i=1}^m M(p_i)=\sum_{j=1}^m M_0(p_j)$ ，称N是严格守恒的。

$\sum_{i=1}^m M(p_i)Y(i)=M^TY$ ； $\sum_{j=1}^m M_0(p_j)Y(j)=M_0^TY$ ；

守恒是指网N从任何初始状态开始运行，这运行的过程中标识数的权和保持不变；

严格守恒是指网N从任何初始状态开始运行，这运行过程中标识数的和保持不变；

定理1：设A为网N=(P,T;F)的关联矩阵，N是守恒网的充分必要条件是：存在一个m（m=|P|）维正整数向量Y，使得AY=0；

推理1：设A为网N=(P,T;F)的关联矩阵，N是严格守恒网的充分必要条件是：存在一个m（m=|P|）维正整数向量Y=[1,1,1,...,1]，使得AY=0；

推理2：若N是守恒网，则N必然是结构有界网；

定义2：设N(P,T;F)为一个网， $P_1\subseteq P$ ，若存在一个m(m=|P|)维非负整数向量Y，使得 $\sum_{p_i\in P_1}M(p_i)Y(i)=\sum_{p_j\in P_1}M_0(p_j)Y(j)$ ，则称网N是关于库所集P1部分守恒的。

定理：设A为网N=(P,T;F)的关联矩阵。网N关于库所子集P1为部分守恒的充分必要条件是：存在m维非负整数向量Y，使得AY=0。

二、可重复性&协调性

1. 可重复性

定义1：设N=(P,T;F)为一个网，若存在一个N的初始标识M0，和一个无限变迁序列 $\sigma$ ，使得 $M_0[\sigma>$ ，且 $\forall t\in T$ 都无限次地出现，则称N为一个可重复网。M0称为N的一个可重复标识。

定理1：设A为网N=(P,T;F)的关联矩阵，网N是可重复网的充分必要条件是：存在n维正整数向量X，使得 $A^TX\geqslant 0$ 。

推论：设N=(P,T;F)为一个可重复网，M0是N的一个可重复标识，那么对任意的 $M\geqslant M_0$ ，M也是N的一个可重复标识。

2. 协调性

定义2：设设N=(P,T;F)为一个网，若存在一个N的初始标识M0和一个变迁序列 $\sigma \in T^*$ ，使得 $M_0[\sigma>M_0$ ，且 $\forall t\in T, \#(\sigma ,t)\geqslant 1$ ，则称网N是一个协调网。

定理2：设A为网N=(P,T;F)的关联矩阵，网N是协调网的充分必要条件是：存在n维正整数向量X，使得 $A^TX=0$ 。

三、不变量

定义1：设N=(P,T;F)是一个网，m=|P|，n=|T|，A是N的关联矩阵

1.如果存在非平凡的m维非负整数向量Y，使得AY=0，则称Y是N的一个S-不变量。

2.如果存在非平凡的n维非负整数向量X，使得 $A^TX=0$ ，则称X是N的一个T-不变量。

定理1：设Y1和Y2为N=(P,T;F)的两个S-不变量，X1和X2为N的两个T-不变量。那么

Y1 + Y2是网N的S-不变量， X1 + X2是网N的T-不变量。
若Y1 - Y2 >0，则Y1 - Y2也是网N的一个网S-不变量；若X1 - X2 >0 ， X1 - X2是网N的T-不变量。

定义2：设N=(P,T;F)是一个网，m=|P|，n=|T|，A是N的关联矩阵。Y1（X1）是N的一个S-不变量（T-不变量），若对于任意的Y<Y1（X<X1）都不是N的S-不变量（T-不变量），则称Y1（X1）是N的一个极小S-不变量（极小T-不变量）

定义2.1：设 $V_1,V_2,...V_k$ 都是n维非负整数向量，如果存在一组非负整数 $c_1,c_2,...,c_k$ ，使得 $V=c_1V_1+c_2V_2+...+c_kV_k$ ，则称V被 $V_1,V_2,...V_k$ 非负整系数线性表出，或称V是 $V_1,V_2,...V_k$ 的非负整系数线性组合。

定理2：一个网N的任意一个S-不变量（T-不变量）都是网N的极小S-不变量（极小T-不变量）的非负整系数线性组合

定义3.1：设Y，X分别为网N=(P,T;F)的S-不变量和T-不变量。记：

$||Y||=\left \{ p_i\in P|Y(i)>0\right \}$ ；（S-不变量的Y支集）

$||X||=\left \{ t_j\in T|X(j)>0\right \}$ ；（T-不变量的X支集）

并分别称他们为S-不变量的Y支集，T-不变量的X支集

定义3.2：设Y是网N=(P,T;F)的一个S-不变量，||Y||=P1。如果任意满足||Y1||=P1，且Y1<Y的m维非负整数向量Y1都不是N的S-不变量，则称Y是立于支集P1上的极小S-不变量。同理可定义立于支集T1上的极小T-不变量。

（立于xx支集上的极小S-不变量=A，极小S-不变量=B；A和B之间的区别是：A不一定是B，但B一定是某种A。A关心的是支集，B关心的是全集）

定义3.3：设Y为网N=(P,T;F)的一个S-不变量，||Y||=P1，如果任意的 $P_2\subset P_1$ 都不是网N的S-不变量的支集，则称P1是网N的S-不变量的极小支集。同理可定义网N的T-不变量的极小支集。

关于不变量的一些定理：

1.设P1，P2是网N=(P,T;F)的两个S-不变量的支集，则 $P_1\cup P_2$ 也是网N的一个S-不变量支集；

2.网N=(P,T;F)是一个守恒网，当且仅当P是N的一个S-不变量支集；网N是一个协调网，当且仅当T是N的一个T-不变量支集

3.对每个极小支集P1（T1），立于极小支集P1（T1）上的极小S-不变量（极小T-不变量）是唯一的。

4.一个网N的任意一个S-不变量（T-不变量）都是立于支集的极小S-不变量（极小T-不变量）的非负有理系数的线性组合。如果网N每个立于支集上的极小S-不变量（极小-T不变量）都是0-1向量，则网N的任意一个S-不变量（T-不变量）都是立于支集的极小S-不变量（极小T-不变量）的非负整系数的线性组合。