DH算法
离散对数
DH 算法是非对称加密算法， 因此它可以用于密钥交换，该算法的核心数学思想是离散对数。
对数运算： i = l o g a b i = log_{a}b i=logab
离散对数是在对数运算的基础上加了「模运算」，也就说取余数，对应编程语言的操作符是「%」，也可以用 mod 表示。离散对数的概念如下图：
上图的，底数 a 和模数 p 是离散对数的公共参数，也就说是公开的，b 是真数，i 是对数。知道了对数，就可以用上面的公式计算出真数。但反过来，知道真数却很难推算出对数。
特别是当模数 p 是一个很大的质数，即使知道底数 a 和真数 b ，在现有的计算机的计算水平是几乎无法算出离散对数的，这就是 DH 算法的数学基础。
DH算法
现假设小红和小明约定使用 DH 算法来交换密钥，那么基于离散对数，小红和小明需要先确定模数和底数作为算法的参数，这两个参数是公开的，用 P 和 G 来代称。
然后小红和小明各自生成一个随机整数作为私钥，双方的私钥要各自严格保管，不能泄漏，小红的私钥用 a 代称，小明的私钥用 b 代称。
现在小红和小明双方都有了 P 和 G 以及各自的私钥，于是就可以计算出公钥：
- 小红的公钥记作 A， A = G a ( m o d P ) A = G ^ a \ ( mod \ P ) A=Ga (mod P)；
- 小明的公钥记作 B， B = G b ( m o d P ) B = G ^ b \ ( mod \ P ) B=Gb (mod P)；
A 和 B 也是公开的，因为根据离散对数的原理，从真数（A 和 B）反向计算对数 a 和 b 是非常困难的，至少在现有计算机的计算能力是无法破解的，如果量子计算机出来了，那就有可能被破解，当然如果量子计算机真的出来了，那么密钥协商算法就要做大的升级了。
双方交换各自 DH 公钥后，小红手上共有 5 个数：P、G、a、A、B，小明手上也同样共有 5 个数：P、G、b、B、A。
然后小红执行运算：$ B ^ a ( mod P )$，其结果为 K，因为离散对数的幂运算有交换律，所以小明执行运算： A b ( m o d P ) A ^ b ( mod P ) Ab(modP)，得到的结果也是 K。
这个 K 就是小红和小明之间用的对称加密密钥，可以作为会话密钥使用。
可以看到，整个密钥协商过程中，小红和小明公开了 4 个信息：P、G、A、B，其中 P、G 是算法的参数，A 和 B 是公钥，而 a、b 是双方各自保管的私钥，黑客无法获取这 2 个私钥，因此黑客只能从公开的 P、G、A、B 入手，计算出离散对数（私钥）。
前面也多次强调， 根据离散对数的原理，如果 P 是一个大数，在现有的计算机的计算能力是很难破解出 私钥 a、b 的，破解不出私钥，也就无法计算出会话密钥，因此 DH 密钥交换是安全的。
DHE 算法
根据私钥生成的方式，DH 算法分为两种实现：
- static DH 算法，这个是已经被废弃了；
- DHE 算法，现在常用的；
static DH 算法里有一方的私钥是静态的，也就说每次密钥协商的时候有一方的私钥都是一样的，一般是服务器方固定，即 a 不变，客户端的私钥则是随机生成的。
于是，DH 交换密钥时就只有客户端的公钥是变化，而服务端公钥是不变的，那么随着时间延长，黑客就会截获海量的密钥协商过程的数据，因为密钥协商的过程有些数据是公开的，黑客就可以依据这些数据暴力破解出服务器的私钥，然后就可以计算出会话密钥了，于是之前截获的加密数据会被破解，所以 static DH 算法不具备前向安全性。
既然固定一方的私钥有被破解的风险，那么干脆就让双方的私钥在每次密钥交换通信时，都是随机生成的、临时的，这个方式也就是 DHE 算法，E 全称是 ephemeral（临时性的）。
所以，即使有个牛逼的黑客破解了某一次通信过程的私钥，其他通信过程的私钥仍然是安全的，因为每个通信过程的私钥都是没有任何关系的，都是独立的，这样就保证了「前向安全」。
ECDHE 算法
DHE 算法由于计算性能不佳，因为需要做大量的乘法，为了提升 DHE 算法的性能，所以就出现了现在广泛用于密钥交换算法 —— ECDHE 算法。
ECDHE 算法是在 DHE 算法的基础上利用了 ECC 椭圆曲线特性，可以用更少的计算量计算出公钥，以及最终的会话密钥。
小红和小明使用 ECDHE 密钥交换算法的过程：
- 双方事先确定好使用哪种椭圆曲线，和曲线上的基点 G，这两个参数都是公开的；
- 双方各自随机生成一个随机数作为私钥d，并与基点 G相乘得到公钥Q（Q = dG），此时小红的公私钥为 Q1 和 d1，小明的公私钥为 Q2 和 d2；
- 双方交换各自的公钥，最后小红计算点（x1，y1） = d1Q2，小明计算点（x2，y2） = d2Q1，由于椭圆曲线上是可以满足乘法交换和结合律，所以 d1Q2 = d1d2G = d2d1G = d2Q1 ，因此双方的 x 坐标是一样的，所以它是共享密钥，也就是会话密钥(其实在TLS中最终的会话密钥，就是用「客户端随机数 + 服务端随机数 + x（ECDHE 算法算出的共享密钥） 」三个材料生成的)。
这个过程中，双方的私钥都是随机、临时生成的，都是不公开的，即使根据公开的信息（椭圆曲线、公钥、基点 G）也是很难计算出椭圆曲线上的离散对数（私钥）。
