一、什么是范数

我们知道距离的定义是一个宽泛的概念，只要满足非负、自反、三角不等式就可以称之为距离。范数是一种强化了的距离概念，它在定义上比距离多了一条数乘的运算法则。有时候为了便于理解，我们可以把范数当作距离来理解。

在数学上，范数包括向量范数和矩阵范数，向量范数表征向量空间中向量的大小，矩阵范数表征矩阵引起变化的大小。一种非严密的解释就是，对应向量范数，向量空间中的向量都是有大小的，这个大小如何度量，就是用范数来度量的，不同的范数都可以来度量这个大小，就好比米和尺都可以来度量远近一样；对于矩阵范数，学过线性代数，我们知道，通过运算，可以将向量X变化为B，矩阵范数就是来度量这个变化大小的。

向量的范数定义：向量的范数是一个函数||x||,满足非负性||x|| >= 0，齐次性||cx|| = |c| ||x|| ，三角不等式||x+y|| <= ||x|| + ||y||。

常用的向量的范数：

• L1范数（曼哈顿距离）: ||x|| 为x向量各个元素绝对值之和。
  

• L2范数（欧式距离）: ||x||为x向量各个元素平方和的1/2次方(L2范数又称Euclidean范数或者Frobenius范数)。
  

• Lp范数（闵氏距离）: ||x||为x向量各个元素绝对值p次方和的1/p次方。
  

• L∞范数（切比雪夫距离）: ||x||为x向量各个元素绝对值最大那个元素的绝对值。
  

二、欧式距离（对应L2范数）

欧几里得度量（euclidean metric）（也称欧氏距离）是一个通常采用的距离定义，指在N维空间中两个点之间的真实距离，或者向量的自然长度（即该点到原点的距离）。在二维和三维空间中的欧氏距离就是两点之间的实际距离。

三、曼哈顿距离（对应L1范数）

在 “欧几里得空间” 的固定直角坐标系上两点所形成的线段对轴产生的投影的距离总和。

例如在平面上，坐标（x11, x12）的向量 x1 与坐标（y11, y12）的向量 y1 的曼哈顿距离为：|x11 - y11| + |x12 - y12|，要注意的是：曼哈顿距离依赖座标系统的转度，而非系统在座标轴上的平移或映射。【x11表示第一行第一个元素，例如 x = [[1,2,3],[4,5,6]] ，x11为1，x12为2，x21为4】

顾名思义，在曼哈顿街区要从一个十字路口开车到另一个十字路口，驾驶距离显然不是两点间的直线距离。这个实际驾驶距离就是“曼哈顿距离”。曼哈顿距离也称为“城市街区距离”(City Block distance)。

下图中绿线代表欧氏距离。红、蓝、黄线代表曼哈顿距离（这三条折线的长度是相等的）。

三、闵氏距离（对应Lp范数）

闵氏距离又叫做闵可夫斯基距离，是欧氏空间中的一种测度，被看做是欧氏距离的一种推广，欧氏距离是闵可夫斯基距离的一种特殊情况。

四、切比雪夫距离（对应L∞范数）

当p = ∞时，即为切比雪夫距离：各坐标轴数据差的最大值：

转载与参考：
https://blog.csdn.net/zhaomengszu/article/details/77855167
https://blog.csdn.net/qq_27586341/article/details/107220041