决策树算法原理+例题练习

article/2025/10/15 2:24:53

一、决策树的优缺点

优点：计算复杂度不高，输出结果易于理解，对中间值的缺失值不敏感，可以处理不相关特征数据。
缺点：可能会产生过度匹配的问题。
使用数据类型：数值型和标称型。

二、一个实例

一天，老师问了个问题，只根据头发和声音怎么判断一位同学的性别。为了解决这个问题，同学们马上简单的统计了7位同学的相关特征，数据如下：

A同学思路，先按照头发判断，若判断不出，再按照声音判断，如下：

由此决策树判断结果可知：头发+长声音粗是男生；头发长+声音细是女生；头发短+声音粗是男生；头发短+声音细是女生

同学B的思路，先根据声音判断，然后再根据头发判断，如下：

此决策树的判断结果：声音细为女生，声音粗+短头发是男生；声音粗+头发长是女生。

这两个决策树，谁的更好呢？当我们有多个特征，该如何选哪个特征为最佳划分点？

三、数据集的划分原则

将无需的数据变得有序

我们可以使用多种方法划分数据集，但是每种方法都有各自的优缺点。于是我们这么想，如果我们能测量数据的复杂度，对比按不同特征分类后的数据复杂度，若按某一特征分类后复杂度减少的更多，那么这个特征即为最佳分类特征。
Claude Shannon 定义了熵（entropy）和信息增益(information gain)。
用熵来表示信息的复杂度，熵越大，则信息越复杂。公式如下：

信息增益(information gain)，表示两个信息熵的差值。
首先计算未分类前的熵，总共有8位同学，男生3位，女生5位。
熵（总）=-3/8*log2(3/8)-5/8*log2(5/8)=0.9544
接着分别计算同学A和同学B分类后信息熵。
同学A首先按头发分类，分类后的结果为：长头发中有1男3女。短头发中有2男2女。
熵（同学A长发）=-1/4*log2(1/4)-3/4*log2(3/4)=0.8113
熵（同学A短发）=-2/4*log2(2/4)-2/4*log2(2/4)=1
熵（同学A）=4/8*0.8113+4/8*1=0.9057
信息增益（同学A）=熵（总）-熵（同学A）=0.9544-0.9057=0.0487
同理，按同学B的方法，首先按声音特征来分，分类后的结果为：声音粗中有3男3女。声音细中有0男2女。
熵（同学B声音粗）=-3/6*log2(3/6)-3/6*log2(3/6)=1
熵（同学B声音粗）=-2/2*log2(2/2)=0
熵（同学B）=6/8*1+2/8*0=0.75
信息增益（同学B）=熵（总）-熵（同学A）=0.9544-0.75=0.2087

按同学B的方法，先按声音特征分类，信息增益更大，区分样本的能力更强，更具有代表性。
以上就是决策树ID3算法的核心思想。

from math import log
import operatordef calcShannonEnt(dataSet):  # 计算数据的熵(entropy)numEntries=len(dataSet)  # 数据条数labelCounts={}for featVec in dataSet:currentLabel=featVec[-1] # 每行数据的最后一个字（类别）if currentLabel not in labelCounts.keys():labelCounts[currentLabel]=0labelCounts[currentLabel]+=1  # 统计有多少个类以及每个类的数量shannonEnt=0for key in labelCounts:prob=float(labelCounts[key])/numEntries # 计算单个类的熵值shannonEnt-=prob*log(prob,2) # 累加每个类的熵值return shannonEntdef createDataSet1():    # 创造示例数据dataSet = [['长', '粗', '男'],['短', '粗', '男'],['短', '粗', '男'],['长', '细', '女'],['短', '细', '女'],['短', '粗', '女'],['长', '粗', '女'],['长', '粗', '女']]labels = ['头发','声音']  #两个特征return dataSet,labelsdef splitDataSet(dataSet,axis,value): # 按某个特征分类后的数据retDataSet=[]for featVec in dataSet:if featVec[axis]==value:reducedFeatVec =featVec[:axis]reducedFeatVec.extend(featVec[axis+1:])retDataSet.append(reducedFeatVec)return retDataSetdef chooseBestFeatureToSplit(dataSet):  # 选择最优的分类特征numFeatures = len(dataSet[0])-1baseEntropy = calcShannonEnt(dataSet)  # 原始的熵bestInfoGain = 0bestFeature = -1for i in range(numFeatures):featList = [example[i] for example in dataSet]uniqueVals = set(featList)newEntropy = 0for value in uniqueVals:subDataSet = splitDataSet(dataSet,i,value)prob =len(subDataSet)/float(len(dataSet))newEntropy +=prob*calcShannonEnt(subDataSet)  # 按特征分类后的熵infoGain = baseEntropy - newEntropy  # 原始熵与按特征分类后的熵的差值if (infoGain>bestInfoGain):   # 若按某特征划分后，熵值减少的最大，则次特征为最优分类特征bestInfoGain=infoGainbestFeature = ireturn bestFeaturedef majorityCnt(classList):    #按分类后类别数量排序，比如：最后分类为2男1女，则判定为男；classCount={}for vote in classList:if vote not in classCount.keys():classCount[vote]=0classCount[vote]+=1sortedClassCount = sorted(classCount.items(),key=operator.itemgetter(1),reverse=True)return sortedClassCount[0][0]def createTree(dataSet,labels):classList=[example[-1] for example in dataSet]  # 类别：男或女if classList.count(classList[0])==len(classList):return classList[0]if len(dataSet[0])==1:return majorityCnt(classList)bestFeat=chooseBestFeatureToSplit(dataSet) #选择最优特征bestFeatLabel=labels[bestFeat]myTree={bestFeatLabel:{}} #分类结果以字典形式保存del(labels[bestFeat])featValues=[example[bestFeat] for example in dataSet]uniqueVals=set(featValues)for value in uniqueVals:subLabels=labels[:]myTree[bestFeatLabel][value]=createTree(splitDataSet\(dataSet,bestFeat,value),subLabels)return myTreeif __name__=='__main__':dataSet, labels=createDataSet1()  # 创造示列数据
print(createTree(dataSet, labels))  # 输出决策树模型结果

输出结果：{'声音': {'细': '女', '粗': {'头发': {'短': '男', '长': '女'}}}}