Pareto最优解 Pareto分布

article/2025/10/4 10:50:16

1.该定律是指绝大多数的问题或缺陷产生于相对有限的起因。就是常说的二八定律，即20%的原因造成80%的问题。

在帕累托分布中，如果X是一个随机变量，则X的概率分布如下面的公式所示：

${\rm P}(X>x)=\left(\frac{x}{x_{\min}}\right)^{-k}$

　　其中x是任何一个大于xmin的数，xmin是X最小的可能值（正数），k是为正的参数。帕累托分布曲线族是由两个数量参数化的：xmin和k。分布密度则为

$p(x) = \left \{ \begin{matrix} 0, & \mbox{if }x < x_{\min}; \\ \\ {k \; x_{\min}^k \over x^{k+1}}, & \mbox{if }x > x_{\min}. \end{matrix} \right.$

　　帕累托分布属于连续概率分布。

　　“吉普夫定律”, 也称为“zeta 分布”, 也可以被认为是在离散概率分布中的帕累托分布。一个遵守帕累托分布的随机变量的期望值为 $x_{\min} \; k \over k-1$ (如果 $k \leq 1$ , 期望值为无穷大) 且随机变量的标准差为 ${x_{\min} \over k-1} \sqrt{k \over k-2}$ (如果 $k \leq 2$ , 标准差不存在)。

被认为大致是帕累托分布的例子有：

在现代工业资本主义创造了大量中产阶级之前，财富在个人之间的分布。
甚至在现代工业资本主义创造了大量中产阶级之后，财富在个人之间的分布。
人类居住区的大小
对维基百科条目的访问
接近绝对零度时，爱因斯坦凝聚的团簇
在互联网流量中文件尺寸的分布
油田的石油储备数量
龙卷风带来的灾难的数量

Pareto最优解，也称为帕累托效率（Pareto efficiency），是指资源分配的一种理想状态，假定固有的一群人和可分配的资源，从一种分配状态到另一种状态的变化中，在没有使任何人境况变坏的前提下，使得至少一个人变得更好。帕累托最优状态就是不可能再有更多的帕累托改进的余地；换句话说，帕累托改进是达到帕累托最优的路径和方法。帕累托最优是公平与效率的“理想王国”。

Pareto解又称非支配解或不受支配解（nondominated solutions）：在有多个目标时，由于存在目标之间的冲突和无法比较的现象，一个解在某个目标上是最好的，在其他的目标上可能是最差的。这些在改进任何目标函数的同时，必然会削弱至少一个其他目标函数的解称为非支配解或Pareto解。一组目标函数最优解的集合称为Pareto最优集。最优集在空间上形成的曲面称为Pareto前沿面。Pareto 在1986 年提出多目标的解不受支配解(Non-dominated set)的概念，其定义为：假设任何二解S1及S2对所有目标而言，S1均优于S2，则我们称S1 支配S2，若S1没有被其他解所支配，则S1 称为非支配解（不受支配解），也称Pareto解。

一般地，多目标规划问题（multi-objective programming,MOP）可以描述成如下形式：

对于多目标规划问题，记它的变量可行域为S，相应的目标可行域Z=f(S)。
给定一个可行点，有，有，则称为多目标规划问题的绝对最优解。若不存在，使得，则称为对目标规划问题的有效解，多目标规划问题的有效解也称为Pareto最优解。
可以通过知乎上一个回答者（查看链接）的例子来加深了解：

举例1：假设现在有两个人，甲和乙，分10块蛋糕，并且两个人都喜欢吃蛋糕。10块蛋糕无论在两个人之间如何分配，都是帕累托最优，因为你想让某一个人拥有更大利益的唯一办法是从另一个人手里拿走蛋糕，导致的结果是那个被拿走蛋糕的人利益受损。

举例2：假设现在有两个人，甲和乙，分10块蛋糕10个包子。甲喜欢吃蛋糕而乙喜欢吃包子，而且甲讨厌吃包子，乙讨厌吃蛋糕（甲包子吃得越多越不开心，乙蛋糕吃得越多越不开心）。这种情形下，帕累托最优应当是：把10块蛋糕全部给甲，把10个包子全部给乙。因为任何其他的分配都会使得至少一个人手里拿着一些自己讨厌的东西，比如甲拥有10块蛋糕以及2个包子，乙拥有8个包子。这个时候，如果把2个包子从甲的手里转移到乙的手里，甲和乙都变得比原来更开心了，同时这样的转移并不会使得任何一方的利益受损。

Pareto改进
Pareto改进 (Pareto Improvement)是指一种变化，在没有使任何人境况变坏的前提下，使得至少一个人变得更好。一方面，帕累托最优是指没有进行Pareto改进的余地的状态；另一方面，Pareto改进是达到帕累托最优的路径和方法。

Pareto Front
Pareto解的集合即所谓的Pareto Front。在Pareto front中的所有解皆不受Pareto Front之外的解（以及Pareto Front 曲线以内的其它解）所支配，因此这些非支配解较其他解而言拥有最少的目标冲突，可提供决策者一个较佳的选择空间。在某个非支配解的基础上改进任何目标函数的同时，必然会削弱至少一个其他目标函数。

Pareto Analysis
Pareto Analysis即为帕累托分析法又称为ABC分类法，也叫主次因素分析法，是项目管理中常用的一种方法。它是根据事物在技术和经济方面的主要特征，进行分类排队，分清重点和一般，从而有区别地确定管理方式的一种分的方法。由于它把被分析的对象分成A、B、C三类，所以又称ABC分类法。ABC分类法是由意大利经济学家帕雷托首创的。1879年，帕累托研究个人收入的分布状态图是地，发现少数人收入占全部人口收入的大部分，而多数人的收入却只占一小部分，他将这一关系用图表示出来，就是著名的帕累托图。该分析方法的核心思想是在决定一事物的众多因素中分清主次，识别出少数但对事物起决定作用的关键因素和多数的但对事物影响较小的次要因素。后来，帕累托法被不断应用于管理的各个方面。1951年，管理学家戴克（H.F.Dickie）将其应用于库存管理，命名为ABC法。1951年---1956年，朱兰将ABC法引入质量管理，用于质量问题的分析，被称为排列图。1963年，杜拉克（P.F.Drucker）将这一方法推广到全部社会现象，使ABC法成为企业提高效益的普遍应用的管理方法。

    在ABC分析法的分析图中，有两个纵坐标，一个横坐标，几个长方形，一条曲线，左边纵坐标表示频数，右边纵坐标表示频率，以百分数表示。横坐标表示影响质量的各项因素，按影响大小从左向右排列，曲线表示各种影响因素大小的累计百分数。一般地，是将曲线的累计频率分为三级，与之相对应的因素分为三类：
    A类因素，发生频率为70%～80%，是主要影响因素。
    B类因素，发生频率为10%～20%，是次要影响因素。
    C类因素，发生频率为0～10%，是一般影响因素。
这种方法有利于人们找出主次矛盾，有针对性地采取措施。

ABC法大致可以分五个步骤：
    （1）       收集数据，针对不同的分析对象和分内容，收集有关数据
    （2）       统计汇总
    （3）       编制ABC分析表
    （4）       ABC分析图
    （5）       确定重点管理方式