整数划分问题（分治算法经典）

article/2025/10/7 20:56:51

题目描述：

整数划分问题是将一个正整数n拆成一组数连加并等于n的形式，且这组数中的最大加数不大于n。
即：n=n1+n2+…+nk;
n1>=n2>=n3…>=nk
如整数的6划分为:
6
5 + 1
4 + 2, 4 + 1 + 1
3 + 3, 3 + 2 + 1, 3 + 1 + 1 + 1
2 + 2 + 2, 2 + 2 + 1 + 1, 2 + 1 + 1 + 1 + 1
1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1共11种。

补充：正整数的这种操作称为正整数的划分，正整数的不同划分个数称为正整数n的划分数，记为p(n)。例如：p(6)=11;

解题：

分析：在如上对6的划分中，我们可以发现分层进行。将最大加数不超过m的划分个数记作q(n,m).
p(6)=q(6,6)
对q(n,m)，我们可以建立如下递归关系。
（1）.q(n,1)=1,n>=1;
即n只能划分为1+1+…+1(n个1️⃣）
（2）.q(n,m)=q(n,n),m>=n;
最大加数m永远不能大于n。
（3）q(n,n)=1+q(n,n-1)。
当取n1=n时，只有一种划分，当n1=n-1时，有q(n,n-1)种划分
(4):q(n,m)=q(n,n-1)+q(n-m,m),n>m>1.
（正整数n的最大加数n1不大于m的划分）即q(n,m)由n1=m的划分（这里可看做q(n-m,m),因为第一个数确定为m,剩下数的总和为n-m,对其在拆分即可）和n1<=m-1的划分组成。

综上：得到q(n,m)的递归式

q(n,m)={1,n=1,m=1;
------------q(n,n),n<m;
------------q(n,n-1)+1,n=m
------------q(n,m-1)+q(n-m,m),n>m>1}

代码实现：C++

#include<iostream>
using namespace std;
int q(int n,int m) {if ((n < 1) || (m < 1))return 0;if ((n == 1) || (m == 1))return 1;if (n < m)return q(n, n);if (n == m)return q(n, m - 1) + 1;return q(n, m - 1) + q(n - m, m);
}
int main() {int n;cin >> n;cout << q(n, n) << endl;return 0;
}

代码实现，JAVA：

public static int q(int n,int m){
if ((n < 1) || (m < 1))return 0;if ((n == 1) || (m == 1))return 1;if (n < m)return q(n, n);if (n == m)return q(n, m - 1) + 1;return q(n, m - 1) + q(n - m, m);}