VaR, value at risk, 风险价值，表示金融产品在给定置信水平 $\alpha$ 下的最大损失。用 $X$ 表示该随机波动的金融产品收益， $F_X(x)$ 为其累计概率分布，则 VAR 的数学表示式为：

VaR α ( X ) = − inf ⁡ { t ∣ F X ( t ) ≥ α } \text{VaR}_\alpha(X)=-\inf\{t\mid F_X(t)\geq \alpha\} VaRα​(X)=−inf{t∣FX​(t)≥α}

或用概率表达式：
VaR α ( X ) = − inf ⁡ { t ∣ Pr ⁡ ( x ≤ t ) ≥ α } \text{VaR}_\alpha(X)=-\inf\{t\mid \Pr(x\leq t)\geq \alpha\} VaRα​(X)=−inf{t∣Pr(x≤t)≥α}

这些数学表达式有些抽象，在几何意义上，其实就是 $X$ 概率分布的 $\alpha$ 分位数的相反数（因为是损失，所以是相反数），如下图所示：

CVaR, conditional value at risk. 表示金融产品在既定置信水平 $\alpha$ 下，损失超过 VAR 的期望损失，数学表达式为：
$$CVa{R}_{\alpha }=-\frac{{\int }_0^{\alpha }Va{R}_r(X)dr}{\alpha }$$

对于CVAR，Rockafellar 与 Uryasev 还提出了一个等价表达式：

$$CVa{R}_{\alpha }=t+\frac{1}{1-\alpha }{\int }_t^{\infty }(z-t)dz$$

其中，$t$ 就是 $VaR$，而 $z$ 为金融产品的损失函数。

几何意义上：就是对上图的红色部分取积分，再除以 $\alpha$，然后取相反数。