产生背景

             \;\;\;\;\;\; CVaR即条件风险价值，是由RockafeUar和Uryasev等于1997年提出的一种较VaR更优的风险计量技术，其含义为在投资组合的损失超过某个给定VaR值的条件下，该投资组合的平均损失值。
             \;\;\;\;\;\; CVaR(条件风险价值)是在VaR(风险价值)的基础上发展出来的一种投资风险计量方法。VaR作为风险计量方法不仅具有概念简单、易于沟通和理解的优点，而且为不同金融工具构成的复杂的投资组合提供了一个统一的、综合性的风险测量框架圄。因此，VaR现在被广泛应用于各金融机构，并且正在成为计量金融风险的国际标准。然而，许多实证研究表明，VaR方法具有其本身无法克服的缺陷：其一，VaR不满足一致性公理，这就意味着用VaR来计量风险，投资组合的风险不一定小于或等于该组合中各种资产分别计量的风险值之和，这与风险分散化的市场现象相违背；其二，VaR尾部损失测量的非充分性，它无法考察超过分位点的下方风险信息；其三，VaR应用的前提必须是股票收益率服从正态分布，而许多实证研究表明， 目前中国的股票收益葺茜并不服从正态分布。
             \;\;\;\;\;\; 为了克服VaR的缺陷，Rockafeller和Uryasev在2000年提出了条件风险价值——CVaR的风险计量技术[91o CVaR是指投资组合的损失大于某个给定的VaR值的条件下，该投资组合损失的平均值。与VaR相比，CVaR满足次可加性、正齐次性、单调性及传递不变性，因而CVaR是一种一致性的风险计量方法。另外。研究表明，CVaR可以通过使用线性规划算法来进行优化。CVaR以其优点正在被越来越多的机构投资者所重视。

定义

VaR(Value at Risk, 风险价值)，表示金融产品在给定置信水平 $\alpha$ 下的最小损失。用 $X$ 表示该随机波动的金融产品， 则 VAR 的数学表示式为：
VaR α ( X ) = inf ⁡ { t : P ( x ≤ t ) ≥ α } \text{VaR}_{\alpha}(X)=\inf\{t:\mathbf{P}(x\leq t)\ge\alpha\} VaRα​(X)=inf{t:P(x≤t)≥α}

CVaR(conditional value at risk, 条件风险价值)，表示金融产品在既定置信水平 $\alpha$ 下，损失超过 VAR 的期望损失，数学表达式为：
$${\text{CVaR}}_{\alpha }=-\frac{{\int }_0^{\alpha }{\text{VaR}}_r(X)dr}{\alpha }$$

假定投资组合的随机损失为 $-X(-X<0)$, ${\text{VaR}}_{\alpha }$ 是置信度为 $1-\alpha$ 的 VaR 值，则
$${\text{CVaR}}_{\alpha }=\mathbf{E}\left(-X|-X\ge {\text{VaR}}_{\alpha }\right)$$

性质

(1) 平移不变性，对于任意一个固定的常数 $c$，有 $C_{\alpha }(Y+c)=C_{\alpha }(Y)+c$

(2) 正齐次性，对于任意正数 $c$，有 $C_{\alpha }(Y+c)=C_{\alpha }(Y)+c$

(3) 单调可加性，对于任意非递增函数 $f$ 和 $g$，若两复合函数 $f\cdot Y$ 和 $g\cdot Y$ 有意义，则 $$C_{\alpha }(f\cdot Y+g\cdot Y)=C_{\alpha }(f\cdot Y)+C_{\alpha }(g\cdot Y)$$

(4) 某种程度上具有关于零的对称性，$E(Y)=(1-\alpha )C_{\alpha }(Y)-\alpha C_{1-\alpha }(-Y)$

(5) CVaR 具有次可加性：若 $0<\lambda <1$，对任意两个损失变量 $Y_1$ 和 $Y_2$ 有 $$C_{\alpha }(\lambda Y_1+(1-\lambda Y_2)\le \lambda C_{\alpha }(Y_1)+(1-\lambda )C_{\alpha }(Y_2)$$

因此无论投资组合的回报是否是正态分布，CVaR 都是一致性风险度量。此外，由上式我们可以发现 CVaR 是凸性的风险计量，因此基于CVaR的投资组合优化必定存在最小风险的解，而 VaR 并不是一个凸性的风险计量，可能不存在最优的解。
　　
参考文献

1. Chen et al. (2015) The Impact of a Target on Newsvendor Decisions.
2. Delage and Ye (2009) Distributionally Robust Optimization under Moment Uncertainty with Application to Data-Driven Problems